distribuzione Boltzmann e velocità quadratica

[xshadow]

Ciao ,ho bisogno del Vostro aiuto!!
ho alcuni dubbi riguardo alla velocità delle molecole gassose quando studiate attraverso la legge di distribuzione di Boltzmann



So che la distribuzione di Boltzmann dice che in un campione gassoso a una certa temperatura $ T $ le molecole di gas non possiedono tutte le stessa velocità $ vecv $ ma ci saranno molecole piu veloci,altre meno e la maggior parte avrà una velocità intermedia tra questi due estremi.

Da ciò si deduce che non tutte le molecole di un campione gassoso hanno la stessa energia cinetica.

Perciò per un campione di gas mi pare di aver capito che NON è possibile identificare un valore esatto della velocità/dell'energia cinetica in quanto ci sono molecole piu veloci,altre meno ma è impossibile che abbiano tutte la stessa velocità. DIscorso simile per l'energia cinetica.

Perciò si parla piu opportunamente di VELOCITà MEDIA del campione e di ENERGIA CINETICA MEDIA.

il libro poi definisce la velocità quadratica media di una mole di gas come
$ v_(rms)=sqrt((3RT)/M_m $

o analogamente ,per una singola molecola:
$ v_(rms)=sqrt((3KT)/m) $


ora mi chiedo cos'è questa $ v_(rms) $ ?
mi pare di aver capito che è la radice della velocità media quadratica...è corretto?

ma di che TIPO di velocità media si tratta?

es: si tratta di un VALORE MEDIO che ci dice una stima media della velocità o si tratta della piu classica $ v_m $ vista nella cinematica?

cioè si tratta della media delle velocità(valor medio) o della velocità media(affine a quella della cinematica)?


GRAZIEEE!!

[Scotti]

Ciao
la parte più geniale della teoria cinetica dei gas è che è possibile trattare le singole molecole (costituenti un gas ideale) come enti indipendenti ognuno dei quali possiede una propria energia.
E tutto ciò funziona !!!

La $v_(rms)$ non è altro che la radice quadrata della media delle velocità quadratiche ossia:

$v_(rms) = root()((sum_1^(N)(v_i^2))/N)$

Questa mi permette di scrivere l'energia cinetica media per singola particella:

$ bar(K) = 1/N (1/2m(sum_1^(N)(v_i^2)))$

e quindi utilizzando $v_(rms)$

$ bar(K) = 1/2m v_(rms)^2$

SSSSC (spero sia stato sufficientemente chiaro)

Bye

[axpgn]

Scusami ma la radice deve coprire tutto, no? anche il denominatore, credo ...
IMHO.

Cordialmente, Alex

[Scotti]

Verissimo.
opss svista correggo.

Bye

[xshadow]

innanzitutto grazie per l'aiuto!!

Ora solo piu una cosa non mi è molto chiara...

Se appunto la velocità $ v_(rms) $ come detto dal gentilissimo Scotti è cosi definita:
$ v_(rms)=sqrt((sum_1^N(v_i)^2)/N) $

tale definizione in genere ha solo valore teorico in quanto per trovare questa benedetta velocità $ v_(rms) $ sarebbe necessario conoscere il valore di tutte le velocità delle molecole del campione....e per un campione di gas per quanto piccolo possa essere le molecole di gas sono comunque pur sempre un numero spropositato e il calcolo della velocità ESATTA $ v_i $ delle singole particelle immagini non sia perciò una passeggiata


le formule operative che permettono di fare i calcoli presumo siano perciò quelle due che ho scritto nel mio primo messaggio,cioè:

$ v_(rms)=sqrt((3RT)/M_m $ per $ 1mol $ di mole di molecole di gas
$ v_(rms)=sqrt((3K_bT)/m $ per $ 1 $ singola molecola di gas

Ora il mio ultimo e più terribile dubbio è:

Se la velocità $ v_(rms) $ è per la definizione teorica iniziale la radice quadrata della media dei quadrati delle velocità $ v_i $ delle singole molecole , allora $ v_(rms) $ per una singola molecola che significato gli si può attribuire?

la media dei quadrati di quali velocità $ v_i $ visto che la molecola è solo una??
cioè mi fila liscia la formula di $ v_(rms $ per 1mol di molecole di gas in quanto rispecchia la definizione teorica di media di velocità ma per il caso di una molecola non ha senso parlare di media....per una molecola che velocità media è?? non ha senso o no?

che significato gli si puo dare?


grazie ancora

[Scotti]

Ciao,
riprendo ora in mano il tuo argomento
Il tuo dubbio è plausibile.
Ma quello che dici non rappresenta l'essenza della teoria. La teoria cinetica dei gas si regge proprio sul fatto che si ha a che fare con
i) un numero indefinito di particelle indistinguibili
2) massa e volume occupato trascurabile
3) la particelle collidono tra loro e contro le pareti del contenitore
4)non sono mutuamente interagenti se non unicamente per urti reciproci
5)dà una spiegazione cinetica dei cambiamenti delle variabili di stato dei gas quali pressione volume e temperatura

Sotto questi presupposti la pressione di un gas non è altro che la variazione di impulso per unità di superficie trasferita alle pareti dagli urti.
A questo punto esplicitando tale pressione, utilizzando la teoria degli urti, in funzione dell'energia cinetica (e quindi della $v_(rms)$) abbiamo
$P =2/3 E_(c)/V$

Ora possiamo metterla in relazione con la equazione di stato dei gas perfetti, da cui ricaviamo le espressioni per $v_(rms)$ da te citate.

Se ci pensi infatti il prodotto $P*V$ ha le dimensioni di una energia.

In ogni caso, in base alla tua domanda, $v_(rms)$ possiamo interpretarla come il valore efficace della velocità della globalità delle particelle ossia il valore medio della velocità determinante per il calcolo dell'energia cinetica.
SSSSC (spero sia stato sufficientemente chiaro).

Bye