Circuitazione forza non conservativa

[Fab527]

L'ultimo passaggio di tale procedimento non mi torna:

"Si ha una forza $ f =(f_1,f_2)=(x_2/(x_1^2+x_2^2),-x_1/(x_1^2+x_2^2)) $. Sebbene si abbia $ (partial f_1)/(partial x_2) = (partial f_2)/(partial x_1) = (x_1^2-x_2^2)/(x_1^2+x_2^2)^2 $ , tale legge di forza non è conservativa, in quanto considerando la curva $ gamma $ di equazione $ x_1^2 + x_2^2 = 1 $, orientata in senso levogiro, si ha l'integrale circuitale $ int_(gamma) f * dl = 2pi $ in violazione della condizione necessaria e sufficiente perchè una legge di forza sia consevativa."

considerando la curva $ gamma $, ovvero la circonferenza di raggio 1 centrata nell'origine, e orientata in senso antiorario, la parametrizzo con $ r(t) = (cos(t),sin(t)) $, da cui $ r'(t) = (-sin(t),cos(t)) $, $ t in [0,2pi] $.


$ int_(gamma) f * dl = int_(0)^(2pi) (sin(t)/(cos^2(t)+sin^2(t)),-cos(t)/(cos^2(t)+sin^2(t))) * (-sin(t),cos(t))dt = int_(0)^(2pi) (sin(t),-cos(t)) * (-sin(t),cos(t))dt = int_(0)^(2pi)-(sin^2(t)+cos^2(t))dt = int_(0)^(2pi)-1dt=-2pi $

Sebbene il risultato che ottengo sia comunque diverso da zero, mi esce col segno opposto. Dove ho sbagliato?

[professorkappa]

Bravo. Hai ragione tu. Il lavoro e' negativo sulla circuitazione lungo la circonferenza.

Per esempio, nel punto (1,0) la forza e' (0,-1) - rivolta verso il basso
Nel punto (0,1) la forza e' (1,0), diretta verso dx
Nel punto (-1,0) e' (0,1) diretta verso l'alto. Siccome stai girnado in senso antiorario, l'integrale lungo la linea chiusa ti deve venire neagtivo, perche la forza e' opposta allo spostamento.

[Fab527]

Grazie della conferma.