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Per onorare la scienza, interventi rigorosi, appropriati e non euristici sono sempre ben accetti
Spiego meglio l'arcano.
1) In presenza di un campo come quello gravitazionale $vec(G)$, che dipende dall'inverso del quadrato della distanza, se la carica gravitazionale M è all'interno di una superficie chiusa, ragionando per differenziali, abbiamo
$dPhi(vec(G)) =vec(G) * vec(n) dS = -gM/r^2 ds$
dove $ds$ è la porzione di superficie ortogonale a $vec(G)$, $g$ costante gravitazionale. Possiamo allora esprimere la porzione $ds$ attraverso l'angolo solido visto dalla massa $M$ cioè:
$ds = r^2 domega$
$ dPhi(vec(G)) = -gM/r^2 r^2 domega = -gMdomega$
che integrando per tutto l'angolo solido cioè $4pi$:
$ Phi(vec(G)) = -gM int(domega) = -4pi gM $
quindi il flusso dipende solo dalla massa $M$ contenuta in $S$, che con il teorema della divergenza diventa:
$ grad * vec(G) = -4 pi g rho $ dove $rho$ è la massa per unità di volume.
2) Nel caso la carica gravitazionale $M$ è esterna alla superficie chiusa $S$ il flusso infinitesimo calcolato sull'angolo solido $domega$ risulterà negativo sulla superficie uscente in quanto il campo non è nella stessa direzione della normale, mentre è positivo sulla superficie entrante per il conseguente motivo opposto. Allora questo significa:
$ dPhi_1(vec(G)) + dPhi_2(vec(G)) = +gM/r_1^2 ds_1 -gM/r_2^2 ds_2 $
ma siccome le due superfici $ds_1$ e $ds_2$ sono viste sotto lo stesso angolo solido posso scrivere:
$ dPhi_1(vec(G)) + dPhi_2(vec(G)) = +gM/r_1^2 ds_1 -gM/r_2^2 ds_2= -gM/r_1^2 r_1^2domega +gM/r_2^2 r_2^2 domega $
$ dPhi_1(vec(G)) + dPhi_2(vec(G)) = +gMdomega -gMdomega = 0$
Quindi per una carica gravitazionale esterna ad un superficie chiusa il flusso di $vec(G)$ attraverso la superficie è nullo.
Con questo si può andare a riposare.
Bye
“…..Per quanto inaccessibili possano sembrarci questi problemi, abbiamo, nondimeno, la ferma convinzione che la loro soluzione deve conseguire in un numero finito di processi logici…“
David Hilbert