Oscillatore armonico con forzante periodica

[Deimos90rm]

Ciao a tutti, ho scritto nel forum di analisi ma nessuno mi ha risposto. Forse è una domanda più adatta a un fisico. Qualcuno di voi per favore può spiegarmi come risolvere questa equazione differenziale, sfruttando il fatto che f(t) è periodica?

$ ddot(u) +2gamma dot(u) +omega _0^2u=f(t) $ .


Ad esempio:

$ ddot(x) +dot(x) +4x=1/(5-4cost) $ .

Qui dice che per calcolare i coeff di Fourier può essere utile usare

$ 1/(5-4cost)=1/3[-1+1/(1-(e^(it))/2)+1/(1-(e^(-it))/2)] $ ,

tenendo presente che se $ |z|<1 $ allora $ 1/(1-z)=sum_(k = 0,1,2\ldots) z^k $ .

[esmiro]

Ciao,
inanzitutto calcoli la soluzione dell'omogenea associata (l'equazione che avresti se $f=0$).
Poi consideri l'equazione di partenza e cerchi soluzioni particolari $g(t)$, con $g$ periodica dello stesso periodo di $f$.

Nell'esempio se non sbaglio hai
\[
f(t)= \frac{1}{3}[-1+\sum_k\frac{1}{2^{k-1}}\cos(kt)]
\]
Della costante puoi liberartì con facilità. Dopodichè cerchi soluzioni della forma

\[
g(t)=\sum_k a_k \cos(kt)
\]

e determini i vari $a_k$.

La soluzione generale sarà somma della soluzione particolare e della soluzione dell'omogenea associata.
Ti trovi d'accordo?

Esmiro

[Deimos90rm]

Ciao, si mi ritrovo. Però a questo punto come calcolo gli $ a_k $ ?
Ho:
$ 4suma_kcos(kt) -sumka_ksin(kt)-sumk^2a_kcos(kt)=sumbcos(kt) $
e $ sumka_ksin(kt) $ deve fare 0. Sbaglio?

Dagli appunti leggo che nel caso f(t) è periodica di qualsiasi tipo si sviluppa in serie di Fourier. Anche se in questo caso magari non è il metodo più veloce vorrei farlo comunque per esercitazione. Mi pare che usando la relazione di prima si ha
$ 1/(5-4cost)=sum1/6e^(itk) $ , dove la somma è su $ kin Z-{0} $ .
A questo punto la soluzione particolare è data da
$ x(t)=sumhat(f_k) 1/(omega _0^2-omega ^2+i2gamma omega k)e^(iomegakt) $ , dove $ hat(f_k) $ sono i coeff. di F., $ omega _0^2 $ e $ 2gamma $ sono quelli del post precedente e $ omega $ è la frequenza della forzante.
Quest'ultima dovrebbe essere 1 dallo sviluppo in serie. Quindi la soluzione particolare è
$ x(t)=sum1/(24k)e^(i(kt+phi) $ , ma sostituendola non riesco a farla andare bene, da una parte c'è $ e^(i(kt+phi) $ e dall'altra $ e^(ikt) $ . La soluzione particolare può avere fase diversa dalla forzante?

[Deimos90rm]

Si può avere fase diversa, mi rispondo da solo. Ma come provo che quella è una soluzione?

[esmiro]

Scusa ho fatto le cose di fretta e non sono stato chiaro. Hai un'equazione della forma

\[
\ddot{u}+2\gamma \dot{u} +\omega_0^2 u= \sum_k d_k \cos(\omega_k t)
\]
cerchi soluzioni della forma

\[
u= \sum_k (a_k \cos(\omega_k t)+b_k \sin(\omega_k t))
\]

ottieni il seguente sistema per i coefficienti:

\[
-2\gamma a_k \omega_k -b_k \omega_k^2 +\omega_0^2 b_k =0\\
-\omega^2 a_k +\omega_0^2a_k +2\gamma \omega b_k =d_k
\]
Da cui ottieni
\[
b_k = C a_k
\]
e
\[
a_k= \frac{d_k}{2\gamma\omega_k C +\omega_0^2-\omega_k^2}
\]
con
\[
C=\frac{2\gamma\omega_k}{\omega_0^2-\omega_k^2}
\]
Così va meglio?
Buona serata

[Deimos90rm]

Si ok è chiaro, grazie mille. Ho un altro esercizio se vuoi :

$ ddot(x) +alphadot(x) +x=log(2-cost) $ .

Chiede per quali valori di $ alpha $ il sistema omogeneo è sopra-critico, critico o sotto-critico e fin qui ok. Poi dice di scegliere un valore di $ alpha $ nel caso sotto-critico e di risolvere l'equazione. Si usi:

$ 2Re(sum_(n =1,2 \ldots) (e^(-alphan+i nt)/n))=-log(1+e^(-2alpha))-log(1-2(e^(-alpha))/(1+e^(-2alpha))cost) $ ,
che può essere usata per uguagliare la forzante al membro di sinistra di questa equazione per un preciso valore di alpha. Dovrebbe essere zero ma mi viene:
$ log(1/(2-4cost)) $

[esmiro]

Sì per $\alpha=0$ mi viene lo stesso risultato.

[Deimos90rm]

Ti va di finire l'esercizio? se non vuoi non fa niente, tranquillo.