Purtroppo i miei appunti non sono molto chiari e non ricordo bene la lezione. Ho questa equazione
$ ddot(x) =-omega^2(t)x $ , dove $ omega $ è periodica e si può scrivere quindi $ omega^2(t)=omega_0^2(1+epsiloncos(wt)) $ , dove $ omega_0 $ è costante e $ epsilon $ è un parametro piccolo.
La matrice A(t) si può scrivere quindi come somma di una matrice costante e una periodica $ A_0+epsilonA_1(t) $ .
Se $ phi_(t,t_0) $ è l'operatore di evoluzione temporale, si può scrivere
$ u(t)=phi_(t,t_0) u(t_0)-= phiu(t_0) $ .
Poi ho scritto che
$ detphi=exp{int_(0)^(t) Tr[A(t)] dt} $ .
Poi, continuando con l'equazione, siccome la traccia di A(t) = 0 allora il determinante di $ phi $ è 1. Ok, poi c'è scritto che essendo A reale, si distinguono due casi: autovalori reali o complessi coniugati. In entrambi i casi il loro prodotto deve fare uno perchè
$ detphi=lambda_1lambda_2 $ . Perchè? Quindi
$ phi=( ( lambda_1 , 0 ),( 0 , lambda_2 ) ) $ ???
E non capisco nemmeno come fare a distinguere i due casi. Nel caso di questa equazione gli autovalori sono
$ lambda_(1,2)=+-iomega(t) $ quindi non sono sempre complessi?
