Hai fatto una vagonata di calcoli.
Va bene, ma bastava considerare che, come scritto all'inizio:
$\vec{OG}=u\vec{tau}+L\vec{\mu}$
Adesso moltiplica entrambi i membri prima per $\vec{i}$ e poi per $\vec{j}$, ricordandoti che il prodotto scalare tra due vettori altro non e' che la proiezione di un vettore sull'altro vettore
$\vec{OG}*\vec{i}=x_G$ e $\vec{OG}*\vec{j}=y_G$
$\vec{\tau}*\vec{i} = cos\theta$ (proiezione di $\vec{\tau}$ su $\vec{i}$
$\vec{\mu}*\vec{i} = -sin\theta$ (proiezione di $\vec{\mu}$ su $\vec{i}$, negativa, perche la proiezione e' opposta a $\vec{i}$
$\vec{\tau}*\vec{j} = sin\theta$ (proiezione di $\vec{\tau}$ su $\vec{j}$
$\vec{\mu}*\vec{j} = cos\theta$ (proiezione di $\vec{\mu}$ su $\vec{j}$
Da qui, trovi esattamente le formule che hai trovato tu un po' piu' laboriosamente.