E' da parecchio che non faccio di queste cose quindi mi scuso se ci sono errori.
Come è stato detto in genere si procede calcolando i contributi di ogni singolo lato che compone la spira, eventualmente sfruttando le possibili simmetrie, e infine sommandoli. Nel nostro caso i tre fili contribuiscono con un vettore perpendicolare al piano dello schermo con verso uscente da esso. Per il modulo di ogni contributo Iniziamo con il calcolare il campo prodotto dal filo verticale.
Se consideriamo un pezzettino di filo dx il campo da esso generato sarà:
$B= (μ_0 i)/(4π) \sin\alpha/r^2dx$
da cui, integrando per tutta la lunghezza, il campo generato dal filo è:
$B= (μ_0 i)/(4π) \int_L \sin\alpha/r^2dx$
Adesso, con riferimento alla figura, possiamo fare delle sostituzioni che semplificano i calcoli dell'integrale.
Notiamo infatti che:
$\sin\alpha=\cos\theta$
$r=L/\cos\theta$
$x=L\tan\theta$
dall'ultima equazione, differenziando, otteniamo:
$dx=L/\cos^2\theta d\theta$
Adesso effettuando le sostituzioni e considerando i nuovi estremi di integrazione rispetto a $\theta$ otteniamo:
$B= (μ_0 i)/(4πL) \int_{0}^{\pi/4} \cos\theta d\theta=(μ_0 i \sqrt{2})/(8πL)$
Per il filo in posizione orizzontale la situazione è la stessa, quindi si ha lo stesso contributo. Mentre per il filo a 45° il procedimento si ripete perfettamente uguale, tranne per il fatto che questa volta la distanza del punto dal filo è $\sqrt{2}/2L$ e gli estremi di integrazione vanno da $-\pi/4$ a $\pi/4$, quindi alla fine avremo:
$B= (μ_0 i)/(4π(\sqrt{2}/2L)) \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \cos\theta d\theta=(μ_0 i)/(2πL)$
Il campo totale è:
$B=2(μ_0 i \sqrt{2})/(8πL)+(μ_0 i)/(2πL)=(μ_0 i \sqrt{2})/(4πL)+(μ_0 i)/(2πL)$
PS Avevo dimenticato un fattore $\sqrt{2}$ nel primo caso, adesso ho corretto.
