pendolo lungo un piano inclinato

[professorkappa]

No, in realta' ho scritto una stupidaggine.
Non intendevo scrivere la variazione, intendevo scrivere "l'opposto" dell'energia potenziale. Da ora in avanti, ascanso di equivoci chiamero' V il potenziale e $U=-V$ l'energia. potenziale.

Ci sono forze per le quali il potenziale (o l'energia potenziale) e' facilmente determinabile. Tipico caso la forza peso (U=mgy oppure V=-mgy), o la forza elastica (U=$1/2k\Deltax^2$)

Altre forze (la forza di inerzia, per esempio) non hanno una determinazione immediata del potenziale.
In quel caso io mi vado a cercare il potenziale dV calcolando il dL (inteso proprio come Fdq in funzione della variabile).

In genere questo e' sufficiente, poiche' gli esercizi richiedono il punto di equilibrio, che come sai, si trova annullano dU/dq. Quindi non ti interessa stabilire qual e' il punto U=0.

Trovato quindi $dL=F(q)*dq$ (la F(q) si chiama componente lagrangiana) mi basta applicare il teorema di Lagrange:

$ {d}/{dt}((partial E_k)/(partial \dotq))- (partial E_k)/(partial \q)=(partial U)/(partial \q)=f(q) $

Inc asi particolari (quando l'energia cinetica e' funzione solo di $\dotq$), Lagrange si puo semplificare, derivando subito rispetto al tempo (come ho fatto per il tuo esercizio). Mi pare (ma la memoria mi falla a volte, che quello sia l'unico caso per il quale si parla di esistenza di integrale primo dell'energia)

[zorrok]

Ora è un pochino più chiaro il ragionamento fatto,
quello che non vedo è come l'equazione di Lagrange "si concretizza" nel nostro esercizio.
dV = F dx ??? la forza su m è m g sin$alpha$ ?? e d x??
l'energia cinetica di m è 1/2 m v^2 + 1/2 I $\omega$^2 come si fa la derivata rispetto alla velocità??

[professorkappa]

L'equazione di Lagrange, in froma generale, nel SDRNI, usando l'angolo come coordinata e':

$ {d}/{dt}*({partialE}/{partial\dot\theta})-{partialE}/{partial\theta}={partialV}/{partial\theta} $

$ E=1/2I\dot\theta^2 $

Esegui le derivate (usando l'espressione approssimata di V trovata all'inizio nell intorno di $\theta=0$ e ti viene l'equazione del moto

[zorrok]

Mi è chiaro quasi tutto... mi rimane da capire solo la da dove esce l'espressione
$(dU)/(dθ)=mgLsinαcosθ−mgLsin(α+θ)$
che implica che l'energia potenziale sia (a meno di costanti additive)
$U = mgLsinalphasintheta+mgLcos(alpha+theta)$
dove L uno spazio generico percorso dalla massa m del pendolo lungo il piano?
Dovrebbe essere da L=-U= F L = mgsin$alpha$ L
Il pendolo lo si deve intendere "congelato" o in movimento?
Nel SRNI ci sono tre forze su m. La tensione T non fa lavoro (perché sempre perpendicolare alla velocità)
la forza peso e la forza apparente si?

[zorrok]

la situazione ricapitolando è la seguente:(manca qualche "dettaglio" da sistemare.....help

[zorrok]

se invece poniamo al secondo membro dell'equazione di Lagrange la forza anziché la derivata dell'energia potenziale si arriva all'eq. finale con un altro tipo di errore

[zorrok]

mi rendo conto che "ho scocciato" forse un po troppo,
ma arrivati a questo punto vorrei chiarirmi definitivamente il discorso.

[professorkappa]

Ora sono in aeroporto. L ultima espressione manca L, lunghezza del pendolo. Sei in un sistema di riferimento solidale col pendolo, quindi ignorance lo spostamento del blocco

[zorrok]

Finalmente ecco la soluzione - Grazie tanto