potenziale e limite di $dotx$

[stagna]

buongiorno a tutti. non so come procedere con il seguente esercizio:

dato il potenziale $ V(x)=log(x^4-2x^2+a) $ determinare il parametro $a$ in modo che, considerando il dato iniziale $x(0)=1$ e $ dotx(0)=sqrt2 $, si abbia $ lim_(t->+infty) dotx(t)=0 $.

ora è chiaro che $dotx = +- sqrt(2/m(E-V(x)))$, ma non mi è chiaro come utilizzare i dati iniziale per calcolare il valore di $E$: è corretto che per quei dati iniziali sia $E=m+loga$? se sì mi risulta che il problema si riduca a determinare $a$ in modo che $ lim_(t->+infty) sqrt(2+(log((1-a)/(x^4-2x^2+a)))/m)=0 $.

ha senso?

grazie!

[Scotti]

è corretto che per quei dati iniziali sia $E=m+loga$?

Ciao stagna,

Quanto hai scritto non mi quadra.
$V(x)$ è il potenziale di un campo esatto funzione della sola posizione.

Considerando le tue condizioni iniziali e considerando il fatto che $V(x)$ è un potenziale e non energia potenziale, presumo che quest'ultima possa essere scritta (anche per toglierci di mezzo $m$ in quanto non ci viene quantificata):

$U(x) = m V(x)$

e quindi per $t=0$ cioè ($ x(0)=1 $ e $ dotx(0)=sqrt2 $) avremo:

$E_(T) = 1/2 m dotx^2 + m V(x) = m (1 + log (a-1))$

Dimmi se ora ti è più chiaro.

Bye

[stagna]

grazie scotti per la risposta.

in realtà la questione non mi è chiara. ho chiesto al prof. il quale mi ha risposto:

si tratta semplicemente di porre l'energia pari al massimo (locale) del potenziale, quindi $log(a)$.

Di conseguenza occorre risolvere l'equazione $$\frac{1}{2} m (\sqrt{2})^2 + \log(a-1) = \log(a)$$ da cui segue immediatamente $ a = \frac{e^m}{e^m-1}\ $ .

non capisco però come utilizzarlo per il limite di $dotx$.

[Palliit]

Azzardo un'ipotesi: quando il potenziale è massimo (in $x=0$), l'energia cinetica $1/2mdot x^2$ è minima. Dato che per $t to + oo$ la velocità $dot x$ tende a zero, il minimo di $dot x$ è zero. Quindi l'energia totale in $x=0$ è puramente potenziale, da cui, imponendone la conservazione: $1/2mdot x_(t=0)^2+V_(x=1)=V_(x=0)$ (donde l'equazione che fornisce $a$).

Mi lascia comunque perplesso un fatto che rappresenta una falla in quanto ho scritto: il massimo del potenziale, in $x=0$, è soltanto locale e non assoluto. Il che non permette, in linea di principio, di affermare che l'energia cinetica corrispondente assuma il suo minimo assoluto. Confido in delucidazioni.

[Scotti]

Rileggendo ora quanto scritto da stagna, non mi quadra che per un massimo locale dell'energia potenziale ponga l'energia cinetica $=0$: anzi questo non lo è assolutamente.
Oppure manca qualcosa nel testo postato inizialmente !!

[stagna]

ho chiesto lumi, si fa tutto per via grafica.

il potenziale ha la classica forma a "W". il ritratto di fase illustra moti periodici fino a che l'energia rimane al di sotto del massimo locale in $(0,loga)$.

in corrispondenza di un livello energetico pari al massimo locale, posso individuare, nel ritratto di fase, le separatrici (che formano il solito 8 orizzontale): per tale livello di energia ho 5 orbite, le quattro che formano l'8 più l'origine.

allora per un tempo infinito le orbite tendono all'origine, senza ovviamente mai arrivarci.

io essere stato capito?

[Falco5x]

A questo punto per chiudere mi pare di dover fare 2 osservazioni.
A stagna direi che la soluzione del suo prof non mi pare regga dal punto di vista dimensionale. Mi pare si faccia confusione tra potenziale e energia potenziale, di mezzo c'è la massa. Dunque direi che la soluzione corretta è \( \displaystyle a = \frac{e}{{e - 1}} \) .
A Pallit dico che non capisco tanto la sua presunta "falla". A me pare che se il corpo avesse una velocità iniziale maggiore di quella data, fermo restando il valore di a calcolato sopra, raggiungerebbe il minimo di energia cinetica (ovvero zero, e parallelamente il massimo di energia potenziale) non sul punto x=0 ma su un punto x1>1 e x2<-1 simmetrici rispetto all'origine, e oscillerebbe indefinitamente tra questi due estremi. Se avesse una velocità minore di quella data oscillerebbe all'interno della buca di potenziale nella quale si trova, indefinitamente. L'unico caso in cui la velocità tende ad azzerarsi per t che tende a infinito è proprio quello che con la velocità iniziale data porta il corpo esattamente sulla cima del massimo relativo di potenziale in x=0, e ci arriva con velocità zero. Dunque io non vedrei alcuna "falla".
Ma non so se ho capito tutto eh...
Ciao a tutti.

[Palliit]

@Falco5x: mi sembra convincente la diagnosi che conclude il tuo post. Rispetto alla questione dimensionale, tutto il problema è posto in modo da ignorare la coerenza in tal senso: lo stesso potenziale è, dimensionalmente parlando, un'accozzaglia di imprecisioni, se $x$ è una coordinata l'espressione $x^4-2x^2+a$ è disomogenea e quindi - a voler essere precisi - priva di significato fisico, ancor peggio il suo logaritmo. L'unico modo per superare l'empasse è di considerare adimensionali tutte le variabili del problema (come spesso fanno i matematici in situazioni del genere). Mi pare.

[Falco5x]

Rispetto alla questione dimensionale, tutto il problema è posto in modo da ignorare la coerenza in tal senso: lo stesso potenziale è, dimensionalmente parlando, un'accozzaglia di imprecisioni, se $x$ è una coordinata l'espressione $x^4-2x^2+a$ è disomogenea e quindi - a voler essere precisi - priva di significato fisico, ancor peggio il suo logaritmo. L'unico modo per superare l'empasse è di considerare adimensionali tutte le variabili del problema (come spesso fanno i matematici in situazioni del genere). Mi pare.

Penso tu abbia ragione.

Ad ogni modo, visto che ho sollevato il problema, mi divertirò qui a fare qualche ulteriore considerazione che mi viene in mente a proposito della questione dimensionale.

In realtà il problema proposto non è chiarissimo. Io ho dato per scontato che l'energia potenziale fosse comunque il prodotto del potenziale per la massa, ma in effetti il problema non lo dice, e quindi si può anche supporre dell'altro.
Ma supponiamo in prima ipotesi che in effetti si stia parlando di potenziali meccanici, fermo restando che quanto all'energia cinetica si ha sempre \( \displaystyle T = \frac{1}{2}m{v^2} \)

In caso di potenziale meccanico, per risolvere la questione dimensionale io vedrei di precisare in questo modo:
\( \displaystyle U = V\left( x \right) \cdot 1 \cdot m \)
dove \( \displaystyle V\left( x \right) \) è una funzione adimensionale di x, e "1" è un parametro unitario avente la dimensione di una \( \displaystyle {v^2} \)

In questo modo la questione dimensionale sarebbe risolta, e la soluzione sarebbe proprio quella da me indicata ovvero:
\( \displaystyle a = \frac{e}{{e - 1}} \)

Ma se invece si trattasse di un campo ad esempio elettrostatico, allora dovremmo intendere il potenziale in un altro modo, e l'energia potenziale sarebbe proporzionale non alla massa bensì alla carica ovvero
\( \displaystyle U = V\left( x \right) \cdot 1 \cdot q \)
dove \( \displaystyle V\left( x \right) \) è una funzione adimensionale di x, e "1" è un parametro unitario avente la dimensione di \( \displaystyle \frac{{m{v^2}}}{q} \)

In tal caso la soluzione sarebbe
\( \displaystyle a = \frac{{{e^{\frac{m}{q}}}}}{{{e^{\frac{m}{q}}} - 1}} \)

Insomma la questione dimensionale non è inessenziale semplicemente perché a seconda del tipo di potenziale può dare luogo a soluzioni di a numericamente molto diverse, e comunque tra tutte la soluzione \( \displaystyle a = \frac{{{e^m}}}{{{e^m} - 1}} \) che io contestavo mi pare la meno plausibile.

Sono stato (forse inutilmente) prolisso, lo so, e non so nemmeno quanto convincente.