[Campi Elettromagnetici] - dubbio su un passaggio

[Giux]

Ciao a tutti..

negli appunti del corso di campi, quando si ricavano le relazioni d'onda piana c'è un passaggio durante i calcoli che non mi è chiaro, vi posto un breve riassunto:

inizio dalle due equazioni di Maxwell in dorma fasoriale

${(\nabla xx bar{E} = -j\omega\mubar{H}), (\nabla xx bar{H} = j\omega\epsilonbar{E}):}$

si considera il vettore di propagazione $bar{k} -= (hat xk_x + hat yk_y + hat zk_z)$ tale che $||bar{k}|| = \omega sqrt(\epsilon\mu)$
ed il vettore direzione generica $ bar{r} -= (hat x x + hat y y + hat z z)$

quindi i fasori campo elettrico e magnetico si possono scrivere nella forma:

${(bar{E} = bar{E_0}e^(-j<bar{k}, bar{r}>)), (bar{H} = bar{H_0}e^(-j<bar{k}, bar{r}>)):}$

dove con $<bar{k}, bar{r}>$ si intende il prodotto scalare tra i vettori $bar{k}$ e $ bar{r}$.

sostituendo nelle equazioni di Maxwell si ottiene:

${( \nabla xx (bar{E_0}e^(-j<bar{k}, bar{r}>)) = -j\omega\mu bar{H_0}e^(-j<bar{k}, bar{r}>) ), ( \nabla xx (bar{H_0}e^(-j<bar{k}, bar{r}>)) = j\omega\epsilon bar{E_0}e^(-j<bar{k}, bar{r}>)):}$


e qui arriva il passaggio che non mi è chiaro:
non ho capito perchè al posto del primo membro sparisce il rotore ed esce fuori il $-jbar{k}$

$ \nabla xx (bar{E_0}e^(-j<bar{k}, bar{r}>)) = -jbar{k} xx bar{E_0}e^(-j<bar{k}, bar{r}>)$

$ \nabla xx (bar{H_0}e^(-j<bar{k}, bar{r}>)) = jbar{k} xx bar{H_0}e^(-j<bar{k}, bar{r}>)$

Grazie :)

[friction]

Ciao a tutti..
non ho capito perchè al posto del primo membro sparisce il rotore ed esce fuori il $-jbar{k}$

$ \nabla xx (bar{E_0}e^(-j<bar{k}, bar{r}>)) = -jbar{k} xx bar{E_0}e^(-j<bar{k}, bar{r}>)$

$ \nabla xx (bar{H_0}e^(-j<bar{k}, bar{r}>)) = jbar{k} xx bar{H_0}e^(-j<bar{k}, bar{r}>)$

Grazie :)

Perché hai calcolato il rotore
\(\vec{E}_0\) non dipende da \(x\) quindi è come una costante per le derivate del rotore; prova a fare il determinante formale del rotore
\[\nabla\times\vec{E}=
\begin{vmatrix}
\vec{e}_1&\vec{e}_2&\vec{e}_3\\
\partial_x&\partial_y&\partial_z\\
E_x&E_y&E_z
\end{vmatrix}
\]
con \(E_n=E_{0n}e^{-\imath\vec{k}\cdot\vec{x}}\), \(n=x,y,z\). Io lo faccio al volo così
\[\begin{split}
\nabla\times\left[\vec{E}_0\exp{\{-\imath\vec{k}\cdot\vec{x}\}}\right]&=\epsilon_{ijk}\partial^jE_0^k\exp{\{-\imath k^lx_l\}}\\
&=E_0^k\epsilon_{ijk}\partial^j\exp{\{-\imath k^lx_l\}}\\
&=-\imath E_0^k\epsilon_{ijk}k^l\delta^j_l\exp{\{-\imath k^lx_l\}}\\
&=-\imath E_0^k\epsilon_{ijk}k^j\exp{\{-\imath k^lx_l\}}\\
&=-\imath\vec{k}\times\vec{E}_0\exp{\{-\imath\vec{k}\cdot\vec{x}\}}
\end{split}
\]

Ciao

[Giux]

ciao friction, grazie per la risposta... per quanto riguarda il rotore, sono stato poco chiaro io nell'esposizione, perchè $bar{E_0}$ sarebbe un vettore addirittura anche complesso tipo : $hat x +j hat y$ ecc ora siccome qui parla di una sostituzione di $\nabla xx$ con $-jk$ non ho capito se è l'applicazione del rotore a far scaturire il $-jk$ oppure è una sostituzione vera e propria...

[friction]

Ti sei calcolato il determinante che ti ho scritto?
Non importa se \(\vec{E}_0\in\mathbb{C}^3\), la cosa importante è che sia indipendente da \(\vec{r}\). Il calcolo del rotore senza usare il simbolo di Levi-Civita è noioso... ma se non ti è ovvio che è proprio il rotore a "tirare giù" il \(-\imath\vec{k}\times\) allora è bene che tu lo faccia per intero. Poi confronta con la traccia qui sotto

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

\[\begin{split}
\nabla\times\left[\vec{E}_0\exp\{-\imath\vec{k}\cdot\vec{r}\}\right]&=
\begin{vmatrix}
\vec{e}_1&\vec{e}_2&\vec{e}_3\\
\partial_x&\partial_y&\partial_z\\
E_{0x}\exp\{-\imath\vec{k}\cdot\vec{r}\}&E_{0y}\exp\{-\imath\vec{k}\cdot\vec{r}\}&E_{0z}\exp\{-\imath\vec{k}\cdot\vec{r}\}\end{vmatrix}\\
&=\vec{e}_1\left[E_{0z}\partial_y\exp\{-\imath\vec{k}\cdot\vec{r}\}-E_{0y}\partial_z\exp\{-\imath\vec{k}\cdot\vec{r}\}\right]+\dots\\
&=-\imath\vec{e}_1\left[E_{0z}k_y-E_{0y}k_z\right]\exp\{-\imath\vec{k}\cdot\vec{r}\}+\dots\\
&=-\imath\begin{vmatrix}
\vec{e}_1&\vec{e}_2&\vec{e}_3\\
k_x&k_y&k_z\\
E_{0x}&E_{0y}&E_{0z}\end{vmatrix}\exp\{-\imath\vec{k}\cdot\vec{r}\}\\
&=-\imath\vec{k}\times\vec{E_0}\exp\{-\imath\vec{k}\cdot\vec{r}\}
\end{split}\]
dove \(\partial_x=\frac{\partial}{\partial x}\), etc., \(\vec{E}_0=(E_{0x},E_{0y},E_{0z})\); le derivate parziali hanno l'effetto di "estrarre" dall'esponenziale il fattore moltiplicativo della variabile rispetto cui si deriva, infatti
\[\begin{split}
\partial_x\exp\{-\imath(k_xx+k_yy+k_zz)\}&=\exp\{-\imath\vec{k}\cdot\vec{r}\}\partial_x[-\imath(k_xx+k_yy+k_zz)]\\
&=-\imath k_x\exp\{-\imath\vec{k}\cdot\vec{r}\}
\end{split}\]
e ti ricordo anche che il prodotto vettore può scriversi come determinante formale
\[
a\times b=\begin{vmatrix}
\vec{e}_1&\vec{e}_2&\vec{e}_3\\
a_x&a_y&a_z\\
b_x&b_y&b_z
\end{vmatrix}
\]

Quindi se tu hai una funzione del tipo
\[
\vec{A}(\vec{r})=\vec{A}_0\exp\{-\imath\vec{k}\cdot\vec{r}\}\,\quad \vec{A}_0\in\mathbb{C}^3
\]
con \(\vec{A}_0,\,\vec{k}\) indipendenti da \(\vec{r}\), allora l'effeto del rotore su funzioni di questo tipo è descritto dalla sostituzione formale
\[
\nabla\times\rightsquigarrow-\imath\vec{k}\times
\]
Ciao

[Giux]

Grazie mille chiarissimo... adesso tutto torna.. e come se si "algebrizzassero" i passaggi quando compare il $-jk$ e sparisce nabla, cmq non sapevo del calcolo del rotore con il simbolo di Levi-Civita, non lo uso spesso.. non ne ho avuto l'occasione...

[friction]

Qui sono riportati alcuni trucchetti col simbolo di Levi-Civita; a volte semplificano decisamente la vita. Prendi ad esempio l'identità
\[
\nabla\times\nabla f=0, \quad f\in\mathcal{C}^2(\mathbb{R})
\]
allora
\[
(\nabla\times\nabla f)_i=\epsilon_{ijk}\nabla^j\nabla^k f\equiv0
\]
perché \(\epsilon_{ijk}\) è antisimmetrico negli indici \(jk\) mentre \(\nabla^j\nabla^k\) è simmetrico negli stessi indici per il teorema di Schwarz. Molto più veloce che andare a fare il determinante formale del rotore, no?

Ciao

[Giux]

un metodo o meglio una notazione molto potente, anche in algebra multilineare quando si studiano i tensori...

tu quindi col simbolo $e_(ijk)\nabla^j\nabla^kf$ intendi $(del^2(f))/(del(y)del(z)) - (del^2(f))/(del(z)del(y))$

cioè ad esempio $\nabla^jf$ è un modo per esprimere la derivata parziale rispetto ad $y$?

[friction]

No. \(i,j,k\) sono indici¹ che vanno da \(1\) a \(3\). Si adotta anche la convenzione di somma sugli indici ripetuti, cioé
\[
\epsilon_{ijk}\nabla^j\nabla^k f=\sum_{j=1}^3
\sum_{k=1}^3 \epsilon_{ijk}\nabla^j\nabla^k f\]
e \(\nabla^i\equiv\partial^i\equiv\frac{\partial}{\partial x_i},\quad x_1=x,\,x_2=y,\,x_3=z\). Non mi chiedere di scriverti per esteso la somma, eh! Il punto di forza di questa tecnica è proprio quello di astrarre proprietà possedute da insiemi di quantità che trasformano in un certo modo quando si effettua un cambio di coordinate e di fare calcoli in modo molto compatto. All'inizio sembra parecchio controintuitivo, ma una volta che ci hai preso la mano non puoi più farne a meno

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Note

1. Le convenzioni sugli indici sono molto... varie! Normalmente quando si usa la "notazione tensoriale" si usano le lettere latine per le tre dimensioni spaziali, quindi \(i=1,\dots,3\), mentre quelle greche si usano per lo spazio-tempo, quindi \(\alpha=0,\dots,3\) dove \(\alpha=0\) corrisponde alla cosiddetta "componente tempo" o "quarta componente"... perché "quarta"? Perché inizialmente \(x_4=ct\). Ovviamente gli autori russi (come Landau) usano la convenzione esattamente opposta... A tal proposito un primer per il calcolo "naif" in notazione tensoriale e alla sua applicazione alla RR sono i primi capitoli del Landau, Lifshitz - The Classical Theory of Fields. Poi esistono altre convenzioni su lettere latine e greche che non sto a dirti perché riguardano la RG, ma poi alla fine ognuno fa un po' ciò che gli pare. ↑

[Giux]

Ok ti risparmio questa impresa , piuttosto ti chiedo se esiste qualche testo e/o guida possibilmente in italiano che tratti, partendo dalle basi, il simbolo di Levi-Civita la delta di kronecker e i tensori in generale, visto che è un argomento che mi appassiona e che vorrei approfondire...

[friction]

La teoria "astratta" dei tensori è svolta spesso nei libri di Geometria Differenziale o in alcuni libri di Algebra/Algebra Lineare che trattano l'Algebra Multilineare... ma per fare i calcoli è sufficiente lavorare in componenti, che mi pare sia ciò che ti interessa.

Per quanto riguarda libri/dispense devi abituarti a studiare da testi in inglese Un'introduzione più che altro concettuale al calcolo coi tensori è questa di Galgani, et al.; poi come già detto ci sono i primi (due mi pare) capitoli di Landau, Lifshitz, The Classical Theory of Fields (esiste una traduzione in italiano), e anche questa dispensa (in inglese) di Dullemond, Peeters sembra carina. Se fai una veloce ricerca sul forum dovresti trovare poi alcune dispense in italiano consigliate da Navigatore; io non le conosco per cui mi astengo dal consiglartele.

Comunque il modo migliore per imparare a fare i calcoli in notazione tensoriale è quello di... farli! La Relatività Ristretta e l'Elettrodinamica Classica in formulazione covariante sono degli ottimi "eserciziari" per questo argomento