Ciao, amici! Il mio libro di testo presenta una dimostrazione del fatto che un corpo rigido che rotoli senza strisciare attorno ad un asse, che si muove con velocità $\mathbf{v}$ perpendicolare all'asse e parallela alla superficie dove rotola il corpo, passante per il proprio centro di massa, ha energia cinetica\[K=\frac{1}{2}I_{cm}\omega^2+\frac{1}{2}Mv^2 \]dove $I_{cm}$ è il momento di inerzia rispetto a tale asse, $\omega$ è il modulo della velocità angolare \(\boldsymbol{\omega}\) del corpo rispetto all'asse, $M$ è la massa del corpo e \(v=\|\mathbf{v}\|\).
Il libro dice poi che tale equazione è valida anche quando il corpo rotola, ma anche striscia.
Direi che, considerando un corpo rigido composto da masse $m_i$ puntiformi discrete di velocità $\mathbf{v}_i$ e posizione rispetto all'asse $\mathbf{r}_i$, anche se direi che il ragionamento si estende considerando gli integrali corrispondenti alle sommatorie per il caso di un corpo continuo, si abbia che, considerando le componenti traslatoria e rotatoria del moto delle singole particelle
\[K=\frac{1}{2}\sum_i m_i \|\mathbf{v}_i\|^2=\frac{1}{2}\sum_i m_i \|\mathbf{v}+\boldsymbol{\omega}\times \mathbf{r}_i\|^2=\frac{1}{2}\sum_i m_i\|\mathbf{v}\|^2+ \sum_i m_i\mathbf{v}\cdot(\boldsymbol{\omega}\times \mathbf{r}_i)+\frac{1}{2}\sum_i m_i\|\boldsymbol{\omega}\times \mathbf{r}_i\|^2\]\[=\frac{1}{2}Mv^2+ \mathbf{v}\cdot \Big( \boldsymbol{\omega}\times\sum_i m_i\mathbf{r}_i\Big) +\frac{1}{2} I_{cm}\omega^2 =\frac{1}{2}Mv^2+\frac{1}{2} I_{cm}\omega^2\]dove ho utilizzato il fatto che \( M^{-1}\sum_i m_i\mathbf{r}_i\) è la posizione del centro di massa rispetto a se stesso, cioè il vettore nullo.
Non mi sembra che i miei calcoli dipendano dal fatto che la velocità dell'asse sia perpendicolare all'asse e parallela alla superficie dove rotola il corpo. È necessaria tale ipotesi o la formula vale anche senza di essa?