Elettrostatica e dielettrici

[johndee]

Salve a tutti. Ho un problema con un precedente appello di FISICA 2.
L'esercizio è il seguente:

"una carica puntiforme q=10 uC è posta al centro di una sfera cava di materiale dielettrico K=5, raggio interno 0.02 m e raggio esterno 0.04 m. Determinare l'andamento in funzione della distanza della carica dei vettori campo elettrico, polarizzazione e induzione. Determinare inoltre le cariche di polarizzazione sulla superficie del dielettrico e l'energia immagazzinata nel sistema."

Allora, prima di tutto mi pare di capire che la sfera cava sia in realtà un guscio (allego immagine, magari ho capito male) e che all'interno di questo guscio il campo elettrico sia quello generato semplicemente da una carica puntiforme, quindi: $ E= q/(4piepsilonr^2) hat(u) $

Invece per quel che concerne il campo elettrico all'interno del dielettrico devo usare gauss? Sono disorientanto

[Light_]

Io partirei calcolandomi l'andamento del potenziale nelle varie zone di questo sistema...

[johndee]

Io partirei calcolandomi l'andamento del potenziale nelle varie zone di questo sistema...

quindi dovrei calcolare i potenziali nei punti 'limite' ossia a ridosso del raggio interno ri, a ridosso del raggio esterno re.
$ V=-int_{r}^{oo } vec(E)* vec(ds)= q/(4piepsir) $
Ovviamente esternamente il potenziale a lunghe distanze è nullo. Solo che non saprei più come continuare...



Solo che mi sta venendo un dubbio Ma questa configurazione è quella di un condensatore? Ma il condensatore per definizione non è formato da conduttore separati da dielettrici?

[Light_]

Allora si , pensavo ci fosse un conduttore all' interno
Non puoi considerare la configurazione del condensatore dato che non hai nemmeno una lastra di conduttore , se invece,
all' interno del guscio dielettrico ci fosse stata una sfera di materiale conduttore , allora avresti potuto considerare l'altra armatura del tuo condensatore posta all' infinito e quindi andarti a calcolare le varie differenze di potenziale.

In questo caso sfrutta il fatto che i tre vettori che caratterizzato il campo elettrico in presenza di dielettrici sono paralleli , data la simmetria del sistema infatti

$ E(r)|| P(r) || D(r) $

[johndee]

Allora si , pensavo ci fosse un conduttore all' interno
Non puoi considerare la configurazione del condensatore dato che non hai nemmeno una lastra di conduttore , se invece,
all' interno del guscio dielettrico ci fosse stata una sfera di materiale conduttore , allora avresti potuto considerare l'altra armatura del tuo condensatore posta all' infinito e quindi andarti a calcolare le varie differenze di potenziale.

In questo caso sfrutta il fatto che i tre vettori che caratterizzato il campo elettrico in presenza di dielettrici sono paralleli , data la simmetria del sistema infatti

$ E(r)|| P(r) || D(r) $

Il problema è come? T.T da dove parto?

[Light_]

Prova a partire dal campo elettrico all'interno del guscio , te lo sei calcolato bene prima.

Dividi il sistema in 3 zone e per ognuna ti calcoli campo elettrico , polarizzazione e induzione sfruttando il parallelismo tra questi.

[johndee]

Prova a partire dal campo elettrico all'interno del guscio , te lo sei calcolato bene prima.

Dividi il sistema in 3 zone e per ognuna ti calcoli campo elettrico , polarizzazione e induzione sfruttando il parallelismo tra questi.

Ho provato a risolverlo. Ma non so, non ne sono sicuro, perché non ci ho capito molto di come funziona il sistema. L'andamento del campo elettrico è sempre lo stesso, quello che cambia è solo la costante dielettrica nelle varie zone. Nella zona interna ed esterna non c'è polarizzazione in quanto non c'è dielettrico mentre le cariche di polarizzazione sono diverse nella superficie esterna del guscio e in quella interna in quanto è diversa la superficie sulla quale compaiono.
L'energia immagazzinata dal sistema è pari alla somma di quella immagazzinata all'interno della cavità vuota più quella immagazzinata all'interno del guscio di dielettrico.
Questo è quello che ho capito ma vorrei conferme
sotto spoiler l'immagine della risoluzione

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

[Light_]

Scusa perché non consideri il calcolo dell' energia per

$ r>r_e $ ?

[johndee]

Scusa perché non consideri il calcolo dell' energia per

$ r>r_e $ ?

già hai ragione! ma dovrei integrare il volume tra..?
Per il resto è giusto il ragionamento fatto?

[Light_]

Si per i tre vettori si.

Ricordati questo , l' energia in generale è

$ U= int_(r=0)^(oo) u d tau=int_(r=0)^(oo) u 4pir^2dr $

Con

$ u =1/2epsi_0epsi_rE^2=1/2(D^2)/(epsi_0epsi_r) $

Ora tu hai tutto , spezza questo integrale in 3 e per ogni zona inserisci i vettori e gli estremi di integrazione "giusti".