da professorkappa » 29/04/2015, 19:25
Esercizio 4.18 - il tubo di ingresso non puo' essere 4m: prima di tutto perche' parte di esso sarebbe fuori dall'acqua secondo perche ci vorrebbe una potenza spaventosa per costringere tutto quel liquido da un tubo di 4m in uno di 0.2m.
Detto questo, corretto quel dato a un ragionevole 0.4m, basta ragionare in questo modo.
La velocita' di uscita dell'acqua $v_2$, per la conservazione della massa e' proporzionale alla velocita' di ingresso per il tramite del rapporto dei diametri al quadrato. Si ha che:
$v_2=v_1 * (D_1/D_2)^2=40m/sec$
Pertanto la portata e' $\dot{Q}=\{pi*D_1^2}/{4}*v_1=1.26{m^3}/{sec}= 4524 {m^3}/{hr}=1260 {kg}/{sec}$
La forza sara' $Q\Deltav=1260*30=37.7kN$
La pompa quindi deve fornire una prevalenza di $H={(v_2^2-v_1^2)}/{2g}=76.5m$ (nell'ipotesi di trascurare le perdite di carico nei tubi).
Supposto un rendimento della pompa dell'80%, la potenza richiesta alla pompa e'
$P={Q*H}/{\eta}={4524 * 76.5 * 0.2725}/{80} = 1.18MW$
Quando arriva l'inventore e cambia la configurazione dei tubi, nell'ipotesi che la pompa continui a fornire la stessa prevalenza H, si deve verificare che
$ H={(v_2^2-v_1^2)}/{2g}+{(p_2-p_1)}/{\rhog}+(h_2) $, avendo scelto com riferimento per il calcolo della quota geodetica l'asse pompa e tenuto conto della differenza di pressione tra aspirazione e uscita che vale:
$ {(p_2-p_1)}/{\rhog}={(p_a-p_i)}/{\rhog}={(p_a-p_a-\rhogh_1)}/{\rhog}=-h_1 $
con $p_a$: Pressione atmosferica e $p_i$: pressione idrostatica.
Quindi:
$ 76.5={(v_2^2-v_1^2)}/{2g}-h_1+(h_2)= {(v_2^2-v_1^2)}/{2g}-1.5m+3m = {(v_2^2-v_1^2)}/{2g}+1.5$
ne consegue che l'altezza cinetica scende ora ${(v_2^2-v_1^2)}/{2g}=76.5-1.5=75m$
Recuperando ora la formula della continuita' $v_2=v_1 * (D_1/D_2)^2$ e sostituendo, si ottengono i 2 nuovi valori di velocita', in ingresso e in uscita, ceh riporto senza spiegazione perche ho fatto i calcoli su carta e non mi va di scriverli:
$v_1=9.9m/sec$ e $v_2=39.6m/sec$
La portata ora diventa: $1.24{m^3}/{sec}=1240{kg}/{sec}$ che danno una forza totale di 36.9KN.
La potenza richiesta dalla pompa e' $P=1.14MW$
La forza persa e', chiaramente, quella dovuta al fatto che parte dell'energia della pompa deve ora trasferire il liquido a un'altezza di 3 m a scapito dell'energia cinetica (con un lieve recupero dovuto al fatto che la pressione in ingresso e' piu' alta di quella in uscita di modo che l'energia netta spesa dalla pompa non e' 3 ma 1.5m), mentre nella configurazione iniziale la pompa non doveva lavorare per alzare il liquido.
Domanda: siamo pero' sicuri che la configurazione b sia pero' peggiore di quella iniziale? Io direi che con gli assunti fatti, e' meglio la configurazione B.
Infatti nel primo caso il rapporto spinta potenza e' ${37,700}/{1180}=31.9{N}/{kW}$
Nel secondo caso si ottiene $32.4{N}/{kW}$......
Ergo....
La mitologia greca e' sempre stata il mio ginocchio di Achille
