[EX] Asse rotante attorno ad un'estremità

[DavideGenova]

Ciao, amici! Ho trovato un esercizio che non credo sia particolarmente complesso, ma che non saprei proprio come affrontare. Un'asse omogenea di lunghezza $L$ è in posizione verticale su un cardine privo di attrito fissato ad una sua estremità. L'asse cade da tale posizione ruotando intorno al cardine in senso orario. Si deve esprimere il modulo della velocità angolare dell'asse, quando essa si trova in posizione orizzontale, in funzione di $L$ e dell'accelerazione gravitazionale $g$.

Se si trattasse di una massa puntiforme posta al centro di un'asse di massa trascurabile, applicherei la legge di conservazione dell'energia perché tale punto sarebbe soggetto solo alla forza centripeta trasmessa dall'asse, che compie lavoro nullo perché ortogonale alla velocità del punto, e alla forza conservativa della gravità: \(mg\frac{L}{2}=\frac{1}{2}mv^2\) \(=\frac{1}{2}m(\omega\frac{L}{2})^2\), ma qui non si tratta di una massa puntiforme...

Se si trattasse di un corpo rigido non puntiforme che ruoti attorno al proprio centro di massa, assumendo che non intervengano forze non conservative, so che l'energia cinetica sarebbe \(K=\frac{1}{2}I_{cm}\omega^2\), ma quest'asse non ruota intorno al centro di massa...

Come si può affrontare un problema di questo tipo?
$\infty$ grazie a tutti!!!

[professorkappa]

L'asse in posizione veritcale e statica ha un'energia potenziale rispetto al piano orizzontale del cardine pari a $mgL/2$ perche il baricentro si trova a L/2.
Quando e' orizzontale, tutta l'energia potenziale iniziale si e' trasformata in in energia cinetica $1/2I_c\omega^2$.

$I_c$ e' il mom. di inerzia rispetto all'estremita calcolabile con Huygens steiner $I_c={mL^2}/{12}+m(L/2)^2$

[DavideGenova]

$\infty$ grazie! Ma che scemo, l'energia cinetica di un corpo che ruoti (senza traslazione), attorno a qualunque asse anche non passante per il centro di massa, è sempre \(K=\sum_i\frac{1}{2}m_i(R_i\omega)^2=\frac{1}{2}I\omega^2\)...

L'unica cosetta che non ho mai trovato dimostrata (a dire il vero, neanche definita per un corpo non puntiforme) nel mio testo è che l'energia potenziale è $Mgh$ dove $h$ è l'altezza, rispetto ad un piano fissato, del centro di massa del corpo non puntiforme di massa $M$ (ovviamente si intende l'approssimazione per un corpo vicino alla superficie sufficientemente piccolo rispetto alla Terra). Così come l'energia cinetica di un corpo continuo (ancora più semplice mi sembra il caso di sistemi discreti di masse puntiformi) i cui punti di coordinata \((x,y,z)\) hanno modulo della velocità \(v(x,y,z)\) è \(\frac{1}{2}\int\rho(x,y,z)v(x,y,z)^2dxdydz\), direi che l'energia potenziale gravitazionale di un corpo sia \(U_G= g\int\rho(x,y,z) h(x,y,z)dxdydz \).
Ora, scegliendo un riferimento cartesiano tale che \(h(x,y,z)=y\), dalla definizione di centro di massa, che ha per ordinata \(\frac{1}{M}\int\rho(x,y,z)ydxdydz\), discende immediatamente che $U_G=Mgh$. Giusto?

[Da tali osservazioni discende che \(\frac{1}{2}\cdot\frac{ML^2}{3}\omega^2=Mg\frac{L}{2}\) e perciò \(\omega=\sqrt{3g/L}\).]

Grazie di cuore ancora!

[navigatore]

La soluzione si può trovare anche in maniera più generale, in questo modo.

Assumi un piano orizzontale passante per il cardine. Inizialmente il CM dell'asta ha quota $L/2$ .
Considera l'asta ruotata di un certo angolo $\theta$ , minore di $(\pi)/2$ , rispetto alla verticale iniziale.
Il CM si è abbassato di :

$h = L/2(1-cos\theta)$

Dal principio di conservazione dell'energia si trova la velocità angolare in funzione di $\theta$ :

$1/2(1/3ML^2)\omega^2 = MgL/2(1-cos\theta)$

da cui si ricava :

$\omega = sqrt((3g(1-cos\theta)/L))$

l'accelerazione angolare si può trovare derivando $\omega$ rispetto al tempo. Oppure , dal teorema del momento angolare :

$I\alpha = Mgsen\theta$

e risulta :

$\alpha = 3/2g/Lsen\theta$

[DavideGenova]

Molto, molto interessante! Penso che tu abbia capito che sono uno cui piacciono le generalizzazioni, piuttosto di ottenere risultati... diciamo locali. Mi rigusterò la cosa quando, nei prossimi capitoli, affronterò il teorema del momento angolare...
È corretta quindi, la mia derivazione della formula per l'energia potenziale gravitazionale di un corpo come \(Mgy_{cm}\)? Il fatto è che il mio testo non l'ha definita per corpi non puntiformi...
$\infty$ grazie a tutti e due!!!

[navigatore]

La tua derivazione della formula per l'energia potenziale gravitazionale di un corpo esteso è corretta, però devi chiarire che fai delle ipotesi fondamentali:

1) stai supponendo un corpo "rigido" , tale cioè che la distanza tra due punti qualsiasi non cambia
2) ogni elemento di massa $dm = \rhodV$ del corpo è soggetto alla stessa accelerazione di gravità $vecg$ .Quindi il peso elementare vale $vec(dP) =vecg*\rho*dV$; in altri termini stai supponendo che il campo gravitazionale sia rigorosamente uniforme nel volume di spazio occupato dal corpo. Allora puoi considerare un sistema di vettori paralleli, di intensità proporzionale alle masse dei singoli elementi dove sono applicati: il centro di questi vettori paralleli è il CM del corpo.
Se la densità è costante, il centro di massa coincide col centro di volume del corpo.

Se il campo gravitazionale non si può considerare uniforme a causa della grande estensione del corpo, il centro di gravità del corpo non coincide col centro di massa. E se la densità non è costante, il centro di massa non coincide col centro di volume.

[DavideGenova]

Naturalmente, si intende l'approssimazione per un corpo vicino alla superficie sufficientemente piccolo rispetto alla Terra.
Per quanto riguarda la densità del corpo, tuttavia, avrei detto che non incide sull'espressione dell'energia potenziale gravitazionale come $Mgy_{cm}$, infatti direi che, avendo ogni "elemento di massa" \(\rho(x,y,z)dV\) un'energia potenziale \(g\rho(x,y,z)ydV\), mi sembra che l'energia potenziale del corpo continuo sia\[\int_V g\rho(x,y,z)ydxdydz\]che è per defizione uguale a $Mgy_{cm}$. Giusto?
Grazie di cuore!

[navigatore]

Infatti non incide, sempre $Mgy_(cm)$ vale ! Volevo solo evidenziare che se la densità non è costante il CM non coincide col centro di volume.