Biglia ferma che rimane ferma

[DavideGenova]

Ciao, amici! Ho qualche problema a risolvere il seguente esercizio, che trovo molto intrigante:

Supponiamo che una scodella semisferica di raggio $r_0$ ruoti con velocità angolare costante $\omega$ intorno al suo asse di simmetria verticale. Se una biglia posta sulla superficie interna della scodella è in quiete rispetto alla superficie a una distanza $R$ dall'asse, essa rimane in quieta, sempre rispetto alla superficie. Dimostrare che allora\[R=\sqrt{r_0^2-\frac{g^2}{\omega^4}}\]

Sono, direi, stato in grado di ottenere tale formula semplicemente imponendo che la forza risultante agente sulla biglia sia quella centripeta.Infatti in tal caso\[-\frac{R}{r_0}F_N=-m\omega^2 R\]\[\frac{\sqrt{r_0^2-R^2}}{r_0} F_N-mg=0\]

Tuttavia non saprei proprio come dimostrare a me stesso che, se la biglia si trova istantaneamente ferma, rimane allora ferma...
Qualcuno sarebbe così gentile da spiegarmi perché la biglia non può avere velocità nulla rispetto alla sfera, ma accelerare acquisendo una velocità relativa non nulla?
$\infty$ grazie a tutti!!!

[navigatore]

Sei sicuro, prima di tutto, che :

che la forza risultante agente sulla biglia sia quella centripeta

[DavideGenova]

Perché rimanga a velocità costante (nulla se era già ferma) rispetto alla scodella avrei detto che l'unica accelerazione dovesse essere quella del punto della scodella su cui poggia, cioè \(-\omega^2 R\mathbf{i}\)... Od ho le travegole?
Grazie ancora!!!

[navigatore]

SE la superficie interna della sfera è liscia, la risultante delle forze agenti deve essere perpendicolare alla superficie , quindi passare per il centro della sfera. MA il peso, che fine ha fatto ?

[DavideGenova]

È il $-mg$ nell'equazione (la seconda) della componente $y$ della forza risultante. Grazie di cuore anche per la risposta di là...

[navigatore]

Rimaniamo di qua, ché di là è finita.

Nel sistema rotante della scodella, la risultante del peso e della forza centrifuga (apparente!) deve essere uguale e opposta alla reazione vincolare $vecF_v$ esercitata dalla scodella . cioè deve essere :

$mvecg + vecF_v + m\omega^2vecr = 0 $

dove $vecr$ è, in modulo, la distanza dall'asse di rotazione. Quindi, voglio dire, la risultante di tutte le forze agenti non è solo la forza centripeta. Questa è data dalla componente di $vecF_v$ in direzione orizzontale . Invece la componente di $vecF_v$ in direzione verticale è uguale e contraria al peso.

[DavideGenova]

Sì, certo, è che io ho considerato il sistema inerziale "osservando dall'esterno" la scodella e imponendo che la forza risultante, invece di nulla, sia la forza centripeta:\[m\vec{g} + \vec{F}_v =\begin{pmatrix} 0 \\ -mg \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} -F_v\frac{R}{r_0} \\ F_v\frac{\sqrt{r_0^2-R^2}}{r_0} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -m\omega^2R \\ 0 \end{pmatrix}= -m\omega^2\vec{r}=\vec{a}_{\text{centripeta}}\]dove l'unica differenza è che avevo usato $F_N$, "forza normale", per $F_v$, "forza vincolare".
A dire il vero su questi calcoli non nutrivo dubbi, ma ciò che non mi è chiaro è il motivo per cui il testo dice che se la biglia si trova istantaneamente ferma rispetto alla scodella, allora rimane ferma rispetto ad essa: perché se in un momento vale tale velocità relativa è nulla, allora essa deve avere accelerazione nulla rispetto alla scodella (o esclusivamente centripeta rispetto al riferimento inerziale)?

[navigatore]

Se in un certo momento la risultante delle forze agenti ( che poi sono tre: nel sistema rotante, hai il peso, la forza centrifuga e la reazione della superficie) è perpendicolare alla superficie, cioè non c'è alcuna componente tangente alla superficie, la pallina rimane in quiete perché nessuna forza la può accelerare facendola muovere lungo la tangente. Equilibrio relativo al riferimento rotante vuol dire quiete.

[DavideGenova]

Sì, questo mi è chiaro, ma ciò che dice il testo mi sembra che sia che, se ad un certo punto, usando gli indici \(bs\) per indicare le quantità possedute dalla biglia rispetto al riferimento della scodella, si ha \(\vec{v}_{bs}=0\), allora la risultante delle forze agenti rispetto alla sfera è appunto ortogonale alla superficie, cioè \(\vec{a}_{bs}=0\).
Come mai non può esistere un istante $t_0$ tale che \(\vec{v}_{bs}(t_0)=0\) e \(\vec{v}_{bs}(t_1)=0\) per \(t_1>t_0\)? Direi che si debba quindi escludere il caso che la biglia arrivi al bordo della scodella percorrendone un meridiano e torni giù lungo il meridiano stesso, perché, in tal caso, sul bordo avrebbe, direi, velocità nulla
$\infty$ grazie ancora!

[navigatore]

Devo prima di tutto rettificare il mio post precedente, ho sabgliato per "lapsus mentale" : la risultante delle tre forze dette è nulla , quella che è perpendicolare alla superficie in condizioni di equilibrio è la reazione vincolare.

Cio detto, non ho capito il tuo dubbio, scusami.