Esercizio sul centro di massa

[Timigi]

Salve a tutti, non riesco a capire l'ultimo punto di un esercizio di fisica I, il libro è il Focardi, Fisica Generale, esercizio 7-5 a pag 340.

Un sistema è composto da due masse, m1=50g, m2=100g, unite da un filo rigido di lunghezza L=1m e di massa trascurabile.
Ad un certo punto il sistema viene lanciato in aria, compiendo un moto rototraslatorio nel piano xy.
Ad un certo istante t* la velocità della prima massa e' v1=(11,9) mentre v2=(-1,0):
determinare in quell'istante
1)velocità centro di massa (che calcolata è v=(3,3))
2)accellerazione centro di massa(a=(0,-g))
3)modulo della velocità angolare di rotazione attorno al centro di massa.

La difficoltà che incontro è nel terzo punto... infatti ho i seguenti dubbi:

se le due velocità sono diverse, come faccio a calcolare una velocità angolare del sistema? Dal momento angolare del centro di massa? In generale non ho molo chiaro il momento angolare e i teoremi di konig, che mi sembrano facili da dimostrare ma quando poi mi metto a fare esercizi trovo un po' di difficoltà!

Grazie...

[professorkappa]

Scusa, ma la risposta al punto (1) e' la risposta del libro? perche a me viene un risultato leggermente diverso. per la componente orizzontale della velcoita' del cdm $v_{cx}$

[Timigi]

Si esatto, io l'ho calcolata applicando la definizione di velocità di centro di massa, le prima due risposte dovrebbero essere corrette e sono in accordo con il libro

[professorkappa]

Alora deve essere un errore di calcolo. Posti i tuoi per favore?
Perche a me viene la velocita' angolare 15,81 rad/sec, ma a questo punto dubito della correttezza del calcolo

[Timigi]

Non so utilizzare bene il linguaggio per scrivere le formule ancora, perciò chiedo scusa per come sono scritte:

m1=0,05kg
m2=0,1kg

vcm=(v1m1+v2m2)/(m1+m2)=((11,9)(0.05)+(-1,0)(0.1))/(0.15)=(3,3)

La velocità angolare del libro è 15 rad/s

[professorkappa]

AH, allora hai sbagliato tu il testo.
Io calcolavo con -2 m/sec e invece vedo che e' -1 m/sec.

[Timigi]

Oddio mi scusi

Ora correggo...

Comunque, posso sapere come ha ricavato la velocità angolare?

[professorkappa]

Per trovare la velocita' angolare, basta scrivere l'equazione della velocita' dei punti estremi (che tu conosci).
Nell'istante t*, il filo (che si presume teso per via della forza centrifuga), forma un angolo $\theta$ incongito con l'asse orizzontale.
Fissiamo $\theta$ positivo in senso antiorario

$\vec{v_2}=\vec{v_1}+\dot\thetaL\vec{n}$ dove $\vec{n}$ e' il vettore ortogonale al filo orientato nel verso crescente di $\theta$.

Tenendo conto che $\vec{n}=(-sin\theta. cos\theta)$, si puo' moltiplicare scalarmente prima per $\vec{i}$ e si ottiene:

$v_{2x}=v_{1x}-\dot\thetaLsin\theta$

e poi per $\vec{j}$ ottenendo:

$v_{2y}=v_{1y}+\dot\thetaLcos\theta$

Sostituendo i valori dati per $v_1$ e $v_2$ si ottiene:

$\dot\thetaLsin\theta=12$
$\dot\thetaLcos\theta=-9$

Quadrando e sommando, $(\dot\thetaL)^2=144+81=225$, da cui $\dot\theta=15 {rad}/{sec}$

Se avessi fatto il rapporto, anziche quadrare, ti accorgeresti che il filo forma un angolo di -55 circa rispetto all'orizzontale e le masse ruotano attorno al baricentro con rotazione in senso orario, e non antiorario come arbitrariamente deciso all'inizio.

Ti verrebbe cioe' $\dot\theta=-15 {rad}/{sec}$, ma avendo scelto di quadrare e sommare perdi il segno meno

[Timigi]

Mmh.. ok, tutto chiaro a parte la prima formula $ \vec{v_2}=\vec{v_1}+\dot\thetaL\vec{n} $ non capisco come l'abbia ricavata...
Dalle leggi dei moti relativi?

[professorkappa]

Si, velocita' relativa $v_1$ + velocita' di trascinamento $\dot\thetaL$