Dubbio incertezze

[cicalino]

Ciao a tutti

Mi trovo in dubbio di fronte a un banale problema: devo calcolare la sezione di una provetta, e per farlo ho misurato il diametro con un calibro e ho così ottenuto una misura di $R$ con la sua incertezza. Ora siccome la formula per la sezione è $πR^2$, che incertezza gli attribuisco? Scusate la banalità ma a volte sono i problemi più semplici quelli più insidiosi

[alessandro8]

Ciao.

Visto che, nel prodotto tra grandezze affette da incertezza per trovare l'errore relativo complessivo si devono sommare gli errori relativi dei singoli fattori, nel tuo caso l'errore relativo dell'area del cerchio (sezione della provetta) sarà pari al doppio dell'errore relativo del raggio, essendo $pi$ una costante esatta (quindi: con errore relativo nullo).

Saluti.

[cicalino]

Ciao.

Visto che, nel prodotto tra grandezze affette da incertezza per trovare l'errore relativo complessivo si devono sommare gli errori relativi dei singoli fattori, nel tuo caso l'errore relativo dell'area del cerchio (sezione della provetta) sarà pari al doppio dell'errore relativo del raggio, essendo $pi$ una costante esatta (quindi: con errore relativo nullo).

Saluti.

Quindi se elevo al quadrato una misura affetta da incertezza, essa avrà un'incertezza pari al doppio?
Ma in generale nel prodotto tra grandezze affette da incertezza l'errore complessivo non va valutato con la propagazione dell'errore?

[alessandro8]

Quindi se elevo al quadrato una misura affetta da incertezza, essa avrà un'incertezza pari al doppio?
Ma in generale nel prodotto tra grandezze affette da incertezza l'errore complessivo non va valutato con la propagazione dell'errore?

Ci sono due tipi di errore, quello assoluto e quello relativo.
Quello che tu scrivi è vero per gli errori relativi.

A quale tipo di errore alludi con il termine "incertezza", a quello assoluto o a quello relativo?

Saluti.

[cicalino]

Quindi se elevo al quadrato una misura affetta da incertezza, essa avrà un'incertezza pari al doppio?
Ma in generale nel prodotto tra grandezze affette da incertezza l'errore complessivo non va valutato con la propagazione dell'errore?

Ci sono due tipi di errore, quello assoluto e quello relativo.
Quello che tu scrivi è vero per gli errori relativi.

A quale tipo di errore alludi con il termine "incertezza", a quello assoluto o a quello relativo?

Saluti.

Parlo dell'incertezza assoluta.

[alessandro8]

Quindi se elevo al quadrato una misura affetta da incertezza, essa avrà un'incertezza pari al doppio?
Ma in generale nel prodotto tra grandezze affette da incertezza l'errore complessivo non va valutato con la propagazione dell'errore?

Se con il termine "incertezza alludi all'errore assoluto, la risposta alla tua prima domanda è negativa: qui entrano in gioco gli errori relativi.
Per rispondere alla seconda, illustro il procedimento.

Avendo due grandezze $a$ e $b$ affette da errori
$a=bar a pm delta a$
$b=bar a pm delta b$

e dovendole moltiplicare tra loro, prima di tutto si calcolano i rispettivi errori relativi

$delta_R a=(delta a)/(bar a)$ e $delta_R b=(delta b)/(bar b)$

poi si ricava che

$bar (ab)=bar a * bar b$
$delta_R (a*b)=delta_R a+delta_R b$

e, finalmente, si calcola l'errore assoluto del prodotto (o incertezza), così:

$delta (a*b)=bar a * bar b*delta_R (a*b)$

Spero di aver chiarito.

Saluti.

[cicalino]

Quindi se elevo al quadrato una misura affetta da incertezza, essa avrà un'incertezza pari al doppio?
Ma in generale nel prodotto tra grandezze affette da incertezza l'errore complessivo non va valutato con la propagazione dell'errore?

Se con il termine "incertezza alludi all'errore assoluto, la risposta alla tua prima domanda è negativa: qui entrano in gioco gli errori relativi.
Per rispondere alla seconda, illustro il procedimento.

Avendo due grandezze $a$ e $b$ affette da errori
$a=bar a pm delta a$
$b=bar a pm delta b$

e dovendole moltiplicare tra loro, prima di tutto si calcolano i rispettivi errori relativi

$delta_R a=(delta a)/(bar a)$ e $delta_R b=(delta b)/(bar b)$

poi si ricava che

$bar (ab)=bar a * bar b$
$delta_R (a*b)=delta_R a+delta_R b$

e, finalmente, si calcola l'errore assoluto del prodotto (o incertezza), così:

$delta (a*b)=bar a * bar b*delta_R (a*b)$

Spero di aver chiarito.

Saluti.

Non ho ben capito il passaggio evidenziato in rosso

Mi stavo chiedendo se, a rigor di logica, un ragionamento del genere sia giusto:

Vedo la mia variabile superficie come $S = πR_1R_2$ con $R_1 = R_2$ e $ΔR_1 = ΔR_2$

Applico la propagazione dell'errore

$ΔS^2 = ((\partialS)/(\partialR_1))^2 ΔR_1^2 + ((\partialS)/(\partialR_2))^2 ΔR_2^2 $

In cui il termine di covarianza è nullo poiché ho una sola misura delle due variabili

Con risultato: $ΔS = sqrt(2(πR)^2ΔR^2)$

[alessandro8]

Ciao.

La relazione che non hai compreso, cioè:
$ delta (a*b)=bar a * bar b*delta_R (a*b) $

deriva sempilcemente dalla definizione di errore relativo applicato alla grandezza prodotto $a*b$, che sarebbe:

$ delta_R (a*b)=(delta (a*b))/(bar (a*b))=(delta (a*b))/(bar (a)*bar (b)) $

Saluti.

[RenzoDF]

... In cui il termine di covarianza è nullo

Una covarianza nulla l'avrai solo fra grandezze scorrelate, e qui direi che fra R ed R stessa ci sia una "certa" correlazione, non credi?.

Di conseguenza, per la propagazione dell'incertezza (che oggigiorno non si chiama più "errore"), non potrai usare la "somma in quadratura" nella forma da te indicata.

[cicalino]

... In cui il termine di covarianza è nullo

Una covarianza nulla l'avrai solo fra grandezze scorrelate, e qui direi che fra R ed R stessa ci sia una "certa" correlazione, non credi?.

Di conseguenza, per la propagazione dell'incertezza (che oggigiorno non si chiama più "errore"), non potrai usare la "somma in quadratura" nella forma da te indicata.

L'ho dato per nullo dopo aver dato un'occhiata alla formula ma immaginavo non fosse così.. Come lo si può quantificare allora in un caso "estremo" come questo?
Il mio libro, forse un po' all'antica, dice che errore ed incertezza sono due cose diverse, e ciò di cui qui discutiamo è proprio quest'ultima: infatti si può dire che per via di errori dovuti a varie cause (sistematici, casuali, ecc), attribuiamo un'incertezza alle nostre misure.