Accelerazione angolare determinata da momento univocamente?

[DavideGenova]

Ciao, amici! Quanto sto per chiedere è strettamente correlato all'oggetto di un precedente mio post, ma preferisco aprire un nuovo thread per l'abbondante lunghezza già raggiunta da quello. Nonostante il testo di fisica, piuttosto elementare, che sto seguendo non entri granché nei dettagli della dinamica rotatoria, mi affascina estremamente l'argomento, che intendo approfondire "come si deve" in futuro su un testo di meccanica più avanzato e matematicamente più completo del mio, ma spesso mi pongo interrogativi su come funzionano le cose in natura ed su uno di essi vorrei chiedere qui.
Grazie a quanto spiegatomi da Falco5x qui, che ancora ringrazio, ho appreso che, calcolando il momento angolare \(\mathbf{L}_{cm}\) e il momento risultante \(\sum\boldsymbol{\tau}_{cm,\text{ext}}\) rispetto al centro di massa, anche mobile, di un corpo rigido, vale sempre\[\frac{d\mathbf{L}_{cm}}{dt}=\sum\boldsymbol{\tau}_{cm,\text{ext}}.\]D'altra parte ho appreso -al di fuori del mio testo- che, chiamata \(\boldsymbol{\omega}\) la velocità angolare con cui il corpo ruota attorno al proprio centro di massa e $I$ la sua matrice d'inerzia, si ha\[\mathbf{L}_{cm}=I\boldsymbol{\omega}\]e perciò\[\sum\boldsymbol{\tau}_{cm,\text{ext}}=\frac{dI}{dt}\boldsymbol{\omega}+I\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}.\]

Ora, l'intuizione fisica mi porta a supporre che l'accelerazione angolare di un corpo rigido \(\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}=I^{-1}(\sum\boldsymbol{\tau}_{cm,\text{ext}}-\frac{dI}{dt}\boldsymbol{\omega})\) (espressione in cui ho usato l'invertibilità di $I$) fatto in un certo modo e con una certa distribuzione di massa, di velocità angolare \(\boldsymbol{\omega}\), sia totalmente determinata dal momento risultante cui è sottoposto. Per esempio, mi verrebbe da immaginare che un asteroide fatto in un modo espresso nella matrice \(I(t)\) e rotante a velocità \(\boldsymbol{\omega}(t)\) e sottoposto ad un momento \(\sum\boldsymbol{\tau}_{cm,\text{ext}}(t)\) debba manifestare una ben determinata accelerazione angolare \(\frac{d\boldsymbol{\omega}(t)}{dt}\).
Tuttavia nell'ultima equazione scritta compare la derivata della matrice d'inerzia.
Suppongo che siano necessari vincoli ulteriori che ci permettano di determinare \(\frac{dI}{dt}\) per sapere come accelererà il nostro corpo rigido conoscendo solo \(\sum\boldsymbol{\tau}_{cm,\text{ext}}\) e \(\boldsymbol{\omega}\), ma quali sono in natura?
$\infty$ grazie per ogni chiarimento!

[navigatore]

Hi Davide !

Why do you go abroad, to ask questions relevant to rigid body motion ? Don't you think we are able to answer your questions ? Well, we probably don't speak English as well as in the States, but anyway be sure that we know mechanics at the same level, we are not so bad! So, stay with us !

Now, what is your doubt ? I already told you that when you consider a rigid body, in which distances between points do not change, and refer geometrical as well as physical properties to a fixed system of coordinates, where fixed means welded to the body , the inertia matrix doesn't change with time !
So, $(dI)/(dt) = 0 $ .

This means that angular acceleration dipends on external torque only.

[DavideGenova]

Why do you go abroad, to ask questions relevant to rigid body motion ?

È che non stavo ricevendo risposte a questo, sull'equazione (3) che avevo oltretutto travisato credendo che $I_c$ fosse uno scalare...

Now, what is your doubt ? I already told you that when you consider a rigid body, in which distances between points do not change, and refer geometrical as well as physical properties to a fixed system of coordinates, where fixed means welded to the body , the inertia matrix doesn't change with time !

Certo, quindi direi che si possa utilizzare l'espressione che ho cercato di dedurre qui.
È dalla derivata delle coordinate della velocità angolare \(\frac{d}{dt}(\boldsymbol{\omega}\cdot\mathbf{i},\boldsymbol{\omega}\cdot\mathbf{j},\boldsymbol{\omega}\cdot\mathbf{k}) =E^{-1}I^{-1}\big(\frac{d\mathbf{L}_{cm}}{dt}-\boldsymbol{\omega}\times (I\boldsymbol{\omega})\big) \) (uso la notazione che ho introdotto qui) relative al riferimento solidale che possiamo ottenere l'accelerazione angolare \(\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}\), vero? Se sì, come?
$\infty$ grazie!!!

[professorkappa]

Hi Davide !

Why do you go abroad, to ask questions relevant to rigid body motion ? Don't you think we are able to answer your questions ? Well, we probably don't speak English as well as in the States, but anyway be sure that we know mechanics at the same level, we are not so bad! So, stay with us !

Now, what is your doubt ? I already told you that when you consider a rigid body, in which distances between points do not change, and refer geometrical as well as physical properties to a fixed system of coordinates, where fixed means welded to the body , the inertia matrix doesn't change with time !
So, $(dI)/(dt) = 0 $ .

This means that angular acceleration dipends on external torque only.

Wow, take that, ye of little faith. And possibly that closes the matter once and for all. Inshallah?

[navigatore]

Inshallah?

Mah! E chi lo scià ?

[DavideGenova]

Oso sperare che i calcoli che ho fatto qui siano giusti e che quindi \(\frac{d}{dt}(\boldsymbol{\omega}\cdot\mathbf{i},\boldsymbol{\omega}\cdot\mathbf{j},\boldsymbol{\omega}\cdot\mathbf{k}) =E^{-1}I^{-1}\big(\frac{d\mathbf{L}_{cm}}{dt}-\boldsymbol{\omega}\times (I\boldsymbol{\omega})\big) \). Sarei grato a chiunque ne confermasse o smentisse la correttezza.
Considerando quindi che, grazie alle formule di Poisson,\[\frac{d(\boldsymbol{\omega}\cdot\mathbf{i})}{dt}=\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}\cdot\mathbf{i}+\boldsymbol{\omega}\cdot\frac{d\mathbf{i}}{dt}=\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}\cdot\mathbf{i}+\boldsymbol{\omega}\cdot(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{i})=\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}\cdot\mathbf{i}\]\[\frac{d(\boldsymbol{\omega}\cdot\mathbf{j})}{dt}=\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}\cdot\mathbf{j}+\boldsymbol{\omega}\cdot\frac{d\mathbf{j}}{dt}=\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}\cdot\mathbf{j}+\boldsymbol{\omega}\cdot(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{j})=\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}\cdot\mathbf{j}\]\[\frac{d(\boldsymbol{\omega}\cdot\mathbf{k})}{dt}=\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}\cdot\mathbf{k}+\boldsymbol{\omega}\cdot\frac{d\mathbf{k}}{dt}=\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}\cdot\mathbf{k}+\boldsymbol{\omega}\cdot(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{k})=\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}\cdot\mathbf{k}\]dove la nullità degli addendi di tipo \(\boldsymbol{\omega}\cdot(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{i})\) è essenziale perché funzioni questo ragionamento, e che perciò \[\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}=E\bigg(\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}\cdot\mathbf{i},\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}\cdot\mathbf{j},\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}\cdot\mathbf{k}\bigg)=E\bigg(\frac{d(\boldsymbol{\omega}\cdot\mathbf{i})}{dt},\frac{d(\boldsymbol{\omega}\cdot\mathbf{j})}{dt},\frac{d(\boldsymbol{\omega}\cdot\mathbf{k})}{dt}\bigg)\]mi pare che si abbia\[\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}=I^{-1}\bigg( \frac{d\mathbf{L}_{cm}}{dt}-\boldsymbol{\omega}\times (I\boldsymbol{\omega}) \bigg)\]dove \(\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}\) è la velocità angolare rispetto al sistema inerziale esterno e anche la matrice $I=E I_m E^{-1}$ è intesa calcolata rispetto a tale sistema inerziale esterno ($I_m$ invece è la matrice non dipendente dal tempo, cfr. sempre notazioni introdotte qui).
Giusto o sbagliato?
$\infty$ grazie per ogni risposta!

EDIT: (26 mag 2015): segnalo, a beneficio di quanti passino da queste parti, che, nonostante l'andamento del thread potrebbe far supporre il contrario al lettore inesperto -io, che sono molto, ma molto inesperto, mi ero quasi convinto di aver sbagliato qualcosa- ho avuto conferma della correttezza dell'identità dimostrata in questo post.

[professorkappa]

Inshallah?

Mah! E chi lo scià ?

A queshto punto non lo scia' neshuno.

[navigatore]

Davide, probabilmente non hai prestato molta attenzione a questo, che avevo già scritto :

Le mie perplessità sono due:
1) credo che \( \frac{d I_c}{dt}\vec{\omega} \) sia nullo, ma perché è nullo?

Ma santo Newton, Davide! Te l'ho spiegato non so quante volte. La matrice di inerzia, riferita ad assi solidali col corpo, è costante ! Se hai solo una rotazione attorno a $veck$ , e $veck$ è fisso nel corpo , per cui hai da tener conto del solo momento di inerzia rispetto a tale asse, esso è banalmente costante!
Rileggi il mio post precedente, leggi e medita le dispense che ti ho allegato, fermati un attimo a riflettere, a computer spento, e vedrai che la luce arriverà .

2) conseguentemente credo che \( \frac{d\vec{\omega}}{dt}=\dot\omega \vec{k} \), ma come facciamo a sapere che \( \frac{d\vec{\omega}}{dt} \) non ha altre componenti? ………..
$ \infty $ grazie ancora a te e a chiunque intervenga per chiarirmi perché \( \frac{d(I_c\vec{\omega})}{dt}=\frac{d I_c}{dt}\vec{\omega}+I_c\frac{d\vec{\omega}}{dt}=I_c\dot\omega\vec{k} \)

Il vettore $vec\omega $ può essere anche variabile nel corpo , mica solo nello spazio "fisso" , parlando in generale. Quindi può avere, anzi ha, in generale, componenti variabili su tutti e tre gli assi solidali del corpo.

MA hai presente la relazione che ti ho scritto ?

$[(dvecL)/(dt)]_F = [(dvecL)/(dt)]_M + vec\omegaxxvecL $

si ricava da semplici considerazioni su "velocità assoluta = vel. relativa + vel. di trascinamento" , cominciando dal moto di un punto P :

$[(dvecr)/(dt)]_F = [(dvecr)/(dt)]_M + vec\omegaxxvecr $

se vuoi te la faccio vedere. Il bello è che vale qualunque sia il vettore che metti al posto di $vecL$ o di $vecr$ . Quindi vale in generale pure se ci metti dei puntini sospensivi :

$[(d...)/(dt)]_F = [(d….)/(dt)]_M + vec\omegaxx(…) $

ora mettici $vec\omega $ al posto dei puntini :

$[(dvec\omega)/(dt)]_F = [(dvec\omega)/(dt)]_M + vec\omegaxxvec\omega$

da cui : $ [(dvec\omega)/(dt)]_F = [(dvec\omega)/(dt)]_M $

perché l'ultimo termine è nullo : la rotazione angolare ha un significato assoluto, la sua derivata nel tempo è la stessa, sia nel riferimento fisso che in quello mobile.

L'accelerazione angolare è la stessa , sia se riferita al riferimento fisso sia se riferita a quello mobile.

Francamente non capisco dove vuoi andare a parare, con tutti i passaggi matematici che scrivi. Hai la tendenza a complicare le cose semplici. Comprendo che hai bisogno di dimostrazioni matematiche, ma a volte ci si deve soffermare sulle questioni fisiche un po' di più.
Queste cose non le trovi in un libro di fisica elementare, ma in un buon libro di meccanica razionale sì . Per esempio, il Goldstein "Meccanica classica" , oppure lo Spiegel "Meccanica razionale" , che una volta pubblicava la collana Schaum, ora non so. Forse corri un po' troppo in avanti.
Oppure nella dispensa di Siboni o in quella di Fitzpatrick , o in altri appunti universitari sul web.

[DavideGenova]

Davide, probabilmente non hai prestato molta attenzione a questo, che avevo già scritto

Grazie per avermi rammentato che si può usare l'identità \(\big[\frac{d\mathbf{r}}{dt}\big]_F=\big[\frac{d\mathbf{r}}{dt}\big]_M+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}\)! Non ci avevo pensato perché, in questa fase iniziale dei miei studi, preferisco esplicitare sempre a me stesso le quantità relative ad un sistema o all'altro, ma mi è chiara comunque l'uguaglianza che scrivi. Infatti l'espressione che citi \(\big[\frac{d\vec\omega}{dt}\big]_F = \big[\frac{d\vec\omega}{dt}\big]_M + \vec\omega\times\vec\omega\) dove, usando la notazione da me introdotto nel post originale, \(\big[\frac{d\vec\omega}{dt}\big]_M\) corrisponde per definizione a \(\big[\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}\big]_M=\frac{d(\boldsymbol{\omega}\cdot\mathbf{i})}{dt}\mathbf{i}+\frac{d(\boldsymbol{\omega}\cdot\mathbf{j})}{dt}\mathbf{j}+\frac{d(\boldsymbol{\omega}\cdot\mathbf{k})}{dt}\mathbf{k}\). Tale uguaglianza si dimostra osservando che per ogni \(\mathbf{r}\) differenziabile, grazie alle formule di Poisson, vale\[\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\frac{d((\mathbf{r}\cdot\mathbf{i})\mathbf{i}+(\mathbf{r}\cdot\mathbf{j})\mathbf{j}+(\mathbf{r}\cdot\mathbf{k})\mathbf{k})}{dt}\]\[=\frac{d(\mathbf{r}\cdot\mathbf{i})}{dt}\mathbf{i}+\frac{d(\mathbf{r}\cdot\mathbf{j})}{dt}\mathbf{j}+\frac{d(\mathbf{r}\cdot\mathbf{k})}{dt}\mathbf{k}+\mathbf{r}\cdot\mathbf{i}\frac{d\mathbf{i}}{dt}+\mathbf{r}\cdot\mathbf{j}\frac{d\mathbf{j}}{dt}+\mathbf{r}\cdot\mathbf{k}\frac{d\mathbf{k}}{dt} \]\[=\frac{d(\mathbf{r}\cdot\mathbf{i})}{dt}\mathbf{i}+\frac{d(\mathbf{r}\cdot\mathbf{j})}{dt}\mathbf{j}+\frac{d(\mathbf{r}\cdot\mathbf{k})}{dt}\mathbf{k}+\mathbf{r}\cdot\mathbf{i}(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{i}) +\mathbf{r}\cdot\mathbf{j}(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{j}) +\mathbf{r}\cdot\mathbf{k}(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{k}) \]\[=\frac{d(\mathbf{r}\cdot\mathbf{i})}{dt}\mathbf{i}+\frac{d(\mathbf{r}\cdot\mathbf{j})}{dt}\mathbf{j}+\frac{d(\mathbf{r}\cdot\mathbf{k})}{dt}\mathbf{k}+\boldsymbol{\omega}\times((\mathbf{r}\cdot\mathbf{i})\mathbf{i}) +\boldsymbol{\omega}\times((\mathbf{r}\cdot\mathbf{j})\mathbf{j}) +\boldsymbol{\omega}\times((\mathbf{r}\cdot\mathbf{k})\mathbf{k}) \]\[=\frac{d(\mathbf{r}\cdot\mathbf{i})}{dt}\mathbf{i}+\frac{d(\mathbf{r}\cdot\mathbf{j})}{dt}\mathbf{j}+\frac{d(\mathbf{r}\cdot\mathbf{k})}{dt}\mathbf{k}+\boldsymbol{\omega}\times((\mathbf{r}\cdot\mathbf{i})\mathbf{i}+(\mathbf{r}\cdot\mathbf{j})\mathbf{j}+(\mathbf{r}\cdot\mathbf{k})\mathbf{k}) \]\[=\frac{d(\mathbf{r}\cdot\mathbf{i})}{dt}\mathbf{i}+\frac{d(\mathbf{r}\cdot\mathbf{j})}{dt}\mathbf{j}+\frac{d(\mathbf{r}\cdot\mathbf{k})}{dt}\mathbf{k}+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}=:\bigg[\frac{d\mathbf{r}}{dt}\bigg]_M+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}.\]

Francamente non capisco dove vuoi andare a parare, con tutti i passaggi matematici che scrivi. Hai la tendenza a complicare le cose semplici.

Ho cercato di dimostrare che \( \frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}=I^{-1}\big( \frac{d\mathbf{L}_{cm}}{dt}-\boldsymbol{\omega}\times (I\boldsymbol{\omega}) \big) \) utilizzando proprio l'identità \(\big[\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}\big]_F=\big[\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}\big]_M\), ma scrivendo¹ esplicitamente \(E\big(\frac{d(\boldsymbol{\omega}\cdot\mathbf{i})}{dt},\frac{d(\boldsymbol{\omega}\cdot\mathbf{j})}{dt},\frac{d(\boldsymbol{\omega}\cdot\mathbf{k})}{dt}\big)\) per \(\big[\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}\big]_M\), e provando quest'ultima identità in modo leggermente diverso da quanto fatto qui sopra (qui sopra ho usato invece il metodo, che, sicuramente a causa delle mie limitatissime abilità matematiche, a me non sembrava particolarmente più semplice, anche se, come mi fai giustamente notare, è decisamente molto più interessante perché valido più in generale, di questo, che ho trovato solitamente usato in varie cose che ho letto per provare l'uguaglianza \(\big[\frac{d\mathbf{r}}{dt}\big]_F=\big[\frac{d\mathbf{r}}{dt}\big]_M+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}\)), esplicitando vari passaggi in modo che chi risponde alla mia domanda possa dirmi è sbagliato questo passaggio o, se invece fossero giusti, perché servano a chi in futuro si ponga la stessa domanda e ne cerchi una dimostrazione dai passaggi il più espliciti possibile, dato che, ovviamente, in matematica, più passaggi si esplicitano più è immediata la comprensione da parte di chi legge.

Comunque ci si arrivi, sia come avevo fatto prima qui, sia grazie all'identità \(\big[\frac{d\mathbf{r}}{dt}\big]_F=\big[\frac{d\mathbf{r}}{dt}\big]_M+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}\) dimostrabile come invece appena fatto in questo post, oso chiedere di nuovo, a navigatore o a chiunque altro legga, nuovamente rischiando di espormi al pubblico ludibrio, se è vero o no che \(\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}=I^{-1}\big( \frac{d\mathbf{L}_{cm}}{dt}-\boldsymbol{\omega}\times (I\boldsymbol{\omega}) \big)\) (dove le notazioni² sono sempre quelle del post linkato quando ho posto la prima volta la domanda).... Chiedo solo conferma dell'eventuale correttezza di quanto ho scritto o dove e perché ho sbagliato se ho sbagliato...

Queste cose non le trovi in un libro di fisica elementare, ma in un buon libro di meccanica razionale sì .

Sì, anch'io mi rendo conto di pormi domande cui non è agevole trovar risposta, almeno senza accontentarsi di dare a se stessi risposte in parte basate su osservazioni empiriche o intuitive, con la limitata preparazione che ho dai primi capitoli di meccanica del mio libro di fisica elementare.
Grazie per la bibliografia!!!!! Il Goldstein, tuttavia, l'ho trovato criticato per lo scarso rigore matematico... che cosa ne pensi?
$\infty$ grazie ancora!!!!!

---

Note

1. Ricordo che, con la notazione da me usata, per $E$ intendo la matrice \(E=\left( \begin{array}{ccc}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k} \end{array} \right)\). ↑
2. \(\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}\) è la velocità angolare rispetto al sistema inerziale esterno e anche la matrice $I=E I_m E^{-1}$ è intesa calcolata rispetto a tale sistema inerziale esterno. $I_m=E^{-1}IE$, che cito perché immagino che sia più usata di $I$ nelle applicazioni perché più semplice da computare, invece è la matrice non dipendente dal tempo, cfr. ancora qui. ↑

[axpgn]

Davide, non so a che livello sia la tua conoscenza a riguardo della Fisica però ti voglio dare un consiglio spassionato (prendilo come vuoi, anche male ): perché non ti leggi TUTTO un "semplice" ma completo testo di Fisica (come per esempio l'Halliday) e solo POI passi ad approfondire? Prova ad accettare per "buone" alcune affermazioni non del tutto provate, avrai sempre tempo dopo per chiarirtele se sarà il caso. IMHO

Cordialmente, Alex