Cinematica relativa. Esercizio.

[Antonio_80]

Un punto materiale $P$ si muove di moto rettilineo uniforme lungo l'asse $Y$, con velocità $v_P = v j$. Il moto viene osservato da un sistema di riferimento rotante con origine coincidente con l'origine del sistema fisso e con velocità angolare costante $Omega = Omegak $ (il primo omega al membro di sinistra è in grassetto, l'Omega al membro a destra non è in grassetto, lo dico perchè non so il comando da digitare) . Si determini il vettore posizione, la traiettoria e la velocità del punto $P$ rispetto al sistema di riferimento rotante.

Avrei bisogno per favore di qualche consiglio in merito a come impostare bene l'esercizio.


Il problema è che non sto riuscendo ad immaginare il moto!
SI ha il punto materiale che si muove a velocità costante lungo l'asse delle $Y$, poi si ha un osservatore che si trova in un sistema rotante e l'origine è lo stesso sia per il punto che si muove lungo la $Y$ che per il corpo rotante, dove quest'ultimo ha una velocità angolare $Omega$.

Fin qui va bene!
Ma poi come faccio a calcolare il vettore posizione?
Per il vettore velocità e accelerazione non è un problema, in quanto si può pensare alle derivazioni del vettore posizione, ma come faccio a calcolare il vettore posizione?
Help!

[Antonio_80]

Ho pensato che la velocità del punto $P$ si possa calcolare facendo la somma delle velocità lineare e angolare, in termini di calcolo dovrebbe essere come pensare ad un unico sistema e si sommano le due velocità!

Cosa ne dite?

Dite che c'entra qualcosa con questo:

[professorkappa]

C'entra e non c'entra.
L'equazione che regge il tutto e'

$v_p\vec{j}=\vec{v_r}+\Omega\vec{k}xx(\xi\vec{tau}+\eta\vec{nu})$

Dove:
$v_p$ e' la velocita nel sistema di riferimento assoluto x-y
$v_r$ e' la velocita' relativa nel sistema rotante $\xi$-$\eta$
$\xi$ ed $\eta$ sono le coordinate di P nel sistema rotante
$\tau$ e $\nu$ sono i versori associati agli assi $\xi$ ed $\eta$

In pratica, in parole, la velocita' assoluta e' pari alla somma della velocita' relativa e della velocita' di trascinamento.

Da qui ricavi $v_r$

$v_r=v_p\vec{j}-\xi\Omega\vec{nu}+\eta\Omega\vec{tau}$

Moltiplichi scalarmente per $vec{tau}$ e $vec{nu}$ e ottieni 2 equazioni:

$\dot\xi=v_p*sin\Omegat+\eta\Omega$
$\dot\eta=v_p*cos\Omegat-\xi\Omega$

la soluzione di questo sistema di equazioni differenziali (che non mi sembra banale a prima vista) ti fornisce $\xi(t)$ e $\eta(t)$ e quindi il vettore posizione relativo al sistema di riferimento rotante $OP_r(t)=\dot\xi\vec{tau}+\dot\eta\vec{nu}
$

[DavideGenova]

Dite che c'entra qualcosa con questo

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Scusa se imbratto il tuo post andando fuori dal seminato, ma volevo chiederti che testo è: sembra ben fatto, con tutte le sue dimostrazioncine... Grazie in anticipo!!!

[Antonio_80]

Moltiplichi scalarmente per $vec{tau}$ e $vec{nu}$ e ottieni 2 equazioni:

$\dot\xi=v_p*sin\Omegat+\eta\Omega$
$\dot\eta=v_p*cos\Omegat-\xi\Omega$

la soluzione di questo sistema di equazioni differenziali (che non mi sembra banale a prima vista) ti fornisce $\xi(t)$ e $\eta(t)$ e quindi il vettore posizione relativo al sistema di riferimento rotante $OP_r(t)=\dot\xi\vec{tau}+\dot\eta\vec{nu}
$

Comprendo chiaramente tutto, ma sto trovando difficolta a comprendere ciò che è scritto nel quote.
Quando dici che moltiplichi scalarmente per $vec{tau}$ e $vec{nu}$, che passaggi fai per arrivare a queste?

$\dot\xi=v_p*sin\Omegat+\eta\Omega$
$\dot\eta=v_p*cos\Omegat-\xi\Omega$

Il problema è che non sto capendo i passaggi da fare e poi non capisco perché indichi quei $xi$ e $eta$ con il puntino sopra che sta a significare la derivata prima? Poi faccio fatica a comprendere la simbologia che usi, io preferisco chiamare i versori $e_x;e_y; e_z$, possiamo utilizzare questi versori? Se io utilizzo questi versori riesco a dire quello che segue, solo che se seguo la simbologia che hai utilizzato, faccio confusione.

Help!

Dico qualcosa che mi è venuto in mente, (utilizzo i versori $e_x;e_y; e_z$), ma è forse molto vago e non si avvicina alla risoluzione del problema:

La velocità relativa al punto $P$ può essere indicata come $v^(r) = v^(r) e_y$.
Il vettore velocità angolare $Omega = Omega k$ e il vettore posizione, espresso nella terna mobile, è $(P - O) = y e_y$.

Rispetto ad un riferimento assoluto, (sistema $(O; X,Y,Z)$), il punto si muove con velocità:

$v = v^(r) + Omega xx (P-O) = v^(r)e_y + Omegak xx ye_y = v^(r)e_y - yOmega e_x$

La velocità di trascinamento $Omega xx (P-O)$ è perpendicolare alla velocità relativa e il suo modulo cresce linearmente con la distanza $y$ del centro del sistema rotante. Il modulo della velocità $v$ è:

$v = sqrt((v^(r))^2 + y^2Omega^2)$

Non so se ho detto cose giuste!

Come faccio a calcolare il vettore posizione del punto $P$

[professorkappa]

No, stai sbagliando quasi tutto.
Punto per punto:

Moltiplichi scalarmente per $vec{tau}$ e $vec{nu}$ e ottieni 2 equazioni:

$\dot\xi=v_p*sin\Omegat+\eta\Omega$
$\dot\eta=v_p*cos\Omegat-\xi\Omega$

la soluzione di questo sistema di equazioni differenziali (che non mi sembra banale a prima vista) ti fornisce $\xi(t)$ e $\eta(t)$ e quindi il vettore posizione relativo al sistema di riferimento rotante $OP_r(t)=\dot\xi\vec{tau}+\dot\eta\vec{nu}
$

Comprendo chiaramente tutto, ma sto trovando difficolta a comprendere ciò che è scritto nel quote.
Quando dici che moltiplichi scalarmente per $vec{tau}$ e $vec{nu}$, che passaggi fai per arrivare a queste?

$\dot\xi=v_p*sin\Omegat+\eta\Omega$
$\dot\eta=v_p*cos\Omegat-\xi\Omega$

semplicemente moltiplico entrambi i membri per $\vec{tau}$ e $\vec{nu}$

Il problema è che non sto capendo i passaggi da fare e poi non capisco perché indichi quei $xi$ e $eta$ con il puntino sopra che sta a significare la derivata prima? Poi faccio fatica a comprendere la simbologia che usi, io preferisco chiamare i versori $e_x;e_y; e_z$, possiamo utilizzare questi versori? Se io utilizzo questi versori riesco a dire quello che segue, solo che se seguo la simbologia che hai utilizzato, faccio confusione.

Non ci sono passaggi. Moltiplicando per $\vec{tau}$ ottieni a sinistra, la componente della velocita' relativa $\dot\xi$. il puntino e' un modo piu' veloce di scrivere ${d\xi}/{dt}$.

La velocità relativa al punto $P$ può essere indicata come $v^(r) = v^(r) e_y$.
Il vettore velocità angolare $Omega = Omega k$ e il vettore posizione, espresso nella terna mobile, è $(P - O) = y e_y$.

No. Nella terna mobile, non puoi usare y. Quella e' la coordinata della terna fissa. Io ho usato $\eta$, ma va bene anche "giovanni".
Inoltre, la nella terna mobile, nessuno ti dice che la velocita' e parallela solo a $e_y$.
Quindi la velocita relativa del punto P nel sistema mobile la devi indicare come somma della variazione delle coordinate:

$\vec{v_r}={{d\xi}/{dt}\vec{e_1}+{d\eta}/{dt}\vec{e_2}$

Il vettore velocita' angolare non si riferisce al punto P, ma alla velocita di rotazione della terna mobile:

$\vec{\Omega}$=\Omega\vec{k}=\Omega\vec{e_3}, poiche il vettore $\vec{k}$ della terna fissa coincide con il vettore $\vec{e_3}$ della terna mobile.

Rispetto ad un riferimento assoluto, (sistema $(O; X,Y,Z)$), il punto si muove con velocità:

$v = v^(r) + Omega xx (P-O) = v^(r)e_y + Omegak xx ye_y = v^(r)e_y - yOmega e_x$

Ovviamente qui hai sbagliato le conclusioni perche hai sbagliato le premesse: con le premesse corrette, dovresti scrivere

"Rispetto ad un riferimento assoluto, (sistema $(O; X,Y,Z)$), il punto si muove con velocità $\vec{v_p}=v_p\vec{j}$: Qundi possiamo scrivere

$v_p\vec{j} = v_r + \vec{\Omega} xx (P-O) = \dot\xi\vec{e_1} + \dot\eta\vec{e_2} + Omegak xx (\xi\vec{e_1}+\eta\vec{e_2})$

La velocità di trascinamento $Omega xx (P-O)$ è perpendicolare alla velocità relativa

Nella maniera piu' assoluta, no. La velocita' relativa NON e' perpendicolare alla velocità relativa. Puo' darsi che lo sia in qualche istante, ma in generale no. La velocita' relativa e' perpendicolare al vettore posizione relativo $\xi\vec{e_1}+\eta\vec{e_2}$

Come faccio a calcolare il vettore posizione del punto $P$

Te l'ho detto, devi integrare, le due equazioni che trovi seguendo il ragionamento logico.
In quel modo ottieni $\xi(t)$ e $\eta(t)$ e il vettore posizione e' dato da $\xi(t)\vec{e_1}+\eta(t)\vec{e_2}$, come gia' scritto sopra

[Antonio_80]

$v_p\vec{j}=\vec{v_r}+\Omega\vec{k}xx(\xi\vec{tau}+\eta\vec{nu})$

Scusami, ma dal prodotto scalare che fai tu:

$k xx tau = xi$
$k xx nu = tau$

Se vogliamo scrivere un prodotto con uno standard conosciuto $k$ e $i$ e $j$, tu cosa indichi con $tau$ e $nu$ ed $xi$ ?

Potresti per favore usare $k$ e $i$ e $j$ ?

[professorkappa]

Allora non hai letto bene.
i, j e k li ho riservati per il sistema di riferimento fisso x-y.

$\tau$, $\nu$ e $\k$ li ho riservati per il sistema di riferimento mobile di assi $\xi$ e $\eta$.

Non ci sono standard conosciuti, in qualche modo bisogna chiamarli, le lettere sono 26, eh?

A scanso di equivoci:

$AxxB$ e' un prodotto scalare
$A*B$ e' un prodotto vettoriale.

Quello che sopra chaimi "scalare" e' in realta' un vettoriale

Piu' chiaro, ora?

[Antonio_80]

$AxxB$ e' un prodotto scalare
$A*B$ e' un prodotto vettoriale.

Ma come?
Se il prodotto scalare tutti i miei testi lo descrivono come $A*B$ mentre il prodotto vettoriale lo descrivono in questo modo
$A xx B$!
Forse ti starò facendo impallare?

http://it.wikipedia.org/wiki/Prodotto_scalare

Ecco il prodotto vettoriale:
http://it.wikipedia.org/wiki/Prodotto_vettoriale

So cosa sono prodotto scalare e vettoriale, solo che non riesco a ricostruire i tuoi calcoli fatti in quanto segue:

Da qui ricavi $v_r$

$v_r=v_p\vec{j}-\xi\Omega\vec{nu}+\eta\Omega\vec{tau}$

Moltiplichi scalarmente per $vec{tau}$ e $vec{nu}$ e ottieni 2 equazioni:

$\dot\xi=v_p*sin\Omegat+\eta\Omega$ (1)
$\dot\eta=v_p*cos\Omegat-\xi\Omega$ (2)

Vediamo, voglio arrivare alla (1).

Partendo da questa:
$v_r=v_p\vec{j}-\xi\Omega\vec{nu}+\eta\Omega\vec{tau}$

Penso che hai moltiplicato per $tau$ e allora avresti dovuto fare così:

$tau v_r = tau * v_p j - tau*xiOmega nu + tau*etaOmegatau$

E' questo quello che hai fatto?
Ma poi scrivi la seguente:

$tau v_r =v_p*sin\Omegat+\eta\Omega$

E' questo che non sto capendo! Come hai moltiplicato?
Compare un $sinOmega t$, da dove viene fuori quel $sen$ ? E da dove viene fuori quel $t$ ?

Ecco cosa non sto capendo adesso!

[professorkappa]

Errore mio, ero sovrappesniero

$AxxB$ e' vettoriale
$A*B$ e' scalare

$t*j$ e' il prodotto scalare tra i due versori. Se il riferimento mobile e' ruotato di $\theta$ rispetto all'asse x $\vec{t}*\vec{j}=1*1*cos(90-\theta)=sin\theta$