Fluidodinamica-Lubrificazione

[AntonioV.]

Salve a tutti. Sono impegnato con alcuni miei colleghi di università in un progetto di fenomeni di trasporto che riguarda la teoria della lubrificazione.

Ho quindi un canale molto stretto, con il piatto superiore leggermente inclinato, e un fluido molto viscoso che scorre al suo interno. In particolare, il moto del fluido è generato, nel caso che io sto studiando, da una differenza di pressione tra ingresso e uscita del canale (P1>P2).
Quello che voglio fare è valutare la forza esercitata dal fluido sul piatto superiore (forza normale). L'ho calcolata come
\(\displaystyle \int_{0}^{L}(P(x)-P1)dx \) dove L è la lunghezza del canale. Il risultato è una forza negativa, che è normale, essendo la funzione P(x) monotona decrescente dal valore P1 al valore P2.
Mi chiedo, però, se è possibile un risultato del genere, o se, invece, ho sbagliato a calcolare la forza.

[alessandro8]

Ciao.

C'è almeno una cosa che non mi torna... se la funzione integranda è costituita dimensionalmente da una pressione, allora l'integrale

\( \displaystyle \int_{0}^{L}(P(x)-P1)dx \)

non può dare come risultato una forza, dal momento che la pressione è dimensionalmente data da un rapporto tra forza e superficie.

Saluti.

[AntonioV.]

Hai ragione, ho dimenticato, nell'espressione che ho scritto, di moltiplicare per la larghezza del piatto.
Grazie per il suggerimento!

Per il resto, credi che vada bene?

[alessandro8]

Ciao.

Devo ammettere che non sono più molto pratico dell'ambito della fluidodinamica, se non a livelli molto generali (esempio: equazione di Bernoulli con alcune applicazioni), anche perchè sono ormai molti anni che non frequento più l'ambiente universitario, eccezion fatta per motivi inerenti a progetti che interessano la Scuola secondaria di secondo grado (scuola superiore).

Può darsi che si tratti di una mia grossa lacuna, ma io ignoro cosa sia il "piatto (superiore)" riferito ad un canale.
Se tu mi dessi qualche indicazione in più, potrei tentare di esprimere un parere sul lavoro che stai svolgendo, anche se non ti dovrai aspettare molto da me.

Comunque sono già contento di esserti stato (almeno un po') utile.

Saluti.

[professorkappa]

Non e' un problema semplicissimo. Un primo dubbio mi viene daala affermazione che fai

Il risultato è una forza negativa, che è normale, essendo la funzione P(x) monotona decrescente dal valore P1 al valore P2.

Se P(1) e P(2) sono positivi sull'intervallo [0,L] (ed essendo pressioni, lo sono), anche una monotona decrescente ti deve dare, integrata, un valore positivo. Puo' darsi che interpreto io male?

Oltretutto mi sembra che stai applicando, di fatto, Bernoulli che non e' valida nel caso di liquidi viscosi.

Purtroppo, non avendo a disposizione un testo, posso solo provare a re-impostare le equazioni a cui si giunge nel caso di un perno rotante che gira in presenza di un meato viscoso e adattarle al tuo caso, ma non garantisco il risultato.

Sono certo che qualcuno interverra' qui a correggere eventuali strafalcioni.

Le assunzioni base sono:

1 - la dimensione laterale del piatto (lungo l'asse z ortogonale alla pagina) e' sufficientemente larga (mi pare di ricordare almeno 2.5 volte la dimensione longitudinale lungo x del meato) per poter trascurare gli effetti ai bordi.
2 - il flusso e' laminare, e non vi e' strisciamento alle pareti (la velocita' e' nulla)
3 - si ignorano le forze inerziali e gravitazionali
4 -l pressione si mantiene costante lungo lo spessore del meato.

Nel tuo caso, siccome sia il piatto superiore che quello inferiore sono fermi, la velocita' e' nulla sul fondo, cresce fino a un massimo, fino a ritornare al valore nullo in corrispondenza del piatto superiore (anch'esso fermo).

In queste condizioni, detto $\tau$ lo sforzo tangenziale trasmesso dalla viscosita' del liquido, un cubetto elementare di fluido di facce dx, dy, dz e' sottoposto alle seguenti forze di contatto:

faccia ortogonale a x, nel punto di coordinata x:

$pdydz$

faccia ortogonale a x, nel punto di coordinata x+dx (negativa rispetto all'orientamento di x)

$ -(p+{dp}/dxdx)dydz $

Sforzo di taglio sulla faccia ortogonale a y, alla quota y

$\taudxdz$

Sforzo di taglio sulla faccia ortogonale a y, alla quota y+dy

$- (tau+{d\tau}/dydy)dxdz $

La risultante di tutte le forze di contatto sul cubo elementare e':

$ pdydz+\taudxdz-(p+{dp}/dxdx)dydz-(tau+{d\tau}/dydy)dxdz $

che si riduce a:

$ {dp}/dxdxdydz-{d\tau}/dydydxdz=0 $ e cioe'

$ {dp}/dx={d\tau}/dy $

Per definizione di sforzo viscoso si ha:

$ tau=\mu{\partialu}/{\partialy} $

derivando e sostituendo:

$ {dp}/dx=\mu\(partial^2u)/(partial y^2) $

Da cui con un paio di passaggi per integrazione:

$ u=1/\mu({dp}/dxy^2/2+C_1y+C_2) $

Le 2 costanti le trovi imponendo che sia $u=0$, per $y=0$ e per $y=h$: come cioe' rendendo valida una della premesse per cui a velocita' e' nulla su y=0 e y=h (altezza del piattello per quella sezione, ovviamente y varia al variare di x, perche il piattello superiore e' inclinato).

Risulta, alla fine dei conti:

$ u={1}/{2\mu}{dp}/{dx}(y^2-hy) $

Il profilo delle velocita' all'interno del meato risulta parabolico, con un massimo della velocita', (per ogni x), proprio a $h/2$ (derivare per credere).

La portata, sezione per sezione (x), risulta:

$ Q_x=\int_0^h{1}/{2\mu}{dp}/{dx}(y^2-hy)dy=-{1}/{2\mu}{dp}/{dx}1/6h^3=-{1}/{12\mu}{dp}/{dx}h^3 $

Che per l'equazione di continuita deve essere costante

Il che significa che $-{dp}/{dx}h^3 = 12\mu*C_1$

Ora, se il piatto superiore e' inclinato, deve essere $h=[h_0L-(h_0-h_1)x}/L$

e quindi

$ p(x)=-12mu*C_1*int{L^3}/[h_0L-(h_0-h_1)x]^3dx+C_2 $

Integri questa e ottieni l'andamento di p(x), che integrata nuovamente ti fornisce la forza fludodinamica che sostiene il piatto (senza tenere conto del fatto che c'e' una spinta per il fatto che il fluido ha una variazione della componente verticale della velocita', quindi una variazione della QDM, e quindi una reazione). Questo fatto lo abbiamo trascurato in prima approssimazione quando abbiamo trascurato l'effetto delle forze di inerzia. E' un'approssimazione attendibile: il meato e' troppo sottile, lungo y, per apprezzare variazioni consistenti di $u_y$

Quanto sopra e' frutto di ragionamento basato su ricordi universitari di molti anni fa.
L'impostazione era quella, ma non ho modo di verificare se da qualche parte ho dimenticato qualcosa che potrebbe inficiare il discorso.

Pertanto e' saggio chiedere ausilio a uno dei tanti qui nel forum che possono individuare eventuali strafalcioni.

Purtroppo, ancora una volta, mi manca un testo di riferimento dove rinfrescarmi le idee.

[AntonioV.]

Grazie, professorkappa, della dettagliata risposta. In effetti la teoria della lubrificazione utilizza proprio le ipotesi da te fatte, e le equazioni a cui si perviene sono più o meno le stesse che hai ricavato tu. Il mio dubbio riguarda proprio la forza che, mea culpa, non riesco proprio ad esprimere. Un assistente del professore mi disse che (così come nel caso in cui uno dei due piatti è in movimento e il deltaP è nullo) la forza sul piatto superiore è pari all'integrale di P(x)-P1, che deriva da un bilancio di forze. Facendo così, però, mi esce un valore negativo. E, comunque, non riesco proprio a scriverlo questo bilancio!

[professorkappa]

(1) Il bilancio l'ho scritto io (a quanto mi dici piu' o meno e' giusto, anche se non capisco: in questi casi, o e' giusto, o no: come fa ad essere piu' o meno? giusto).
Allora aggiustalo e prova a finire i calcoli: trova p(x). Poi integra tra o ed L e vedi cosa esce.
(2) Mostraci i calcoli che fai adesso. Cosi vediamo, a) come ricavi la funzione integranda e b) dove sbagli l'integrazione (perche ci deve essere un errore, deve venire un risulato positivo, dal momento che l'integranda e' sempre positiva

[AntonioV.]

La funzione che ho ricavato per P(x) è questa: \(\displaystyle P(x)=P1-12*\mu *(Q/W)*(1/2tg\alpha )*(1/(H1-x*(tg\alpha ))^2-1/H1^2) \) ; dove W è la larghezza del piatto, alfa l'angolo di inclinazione, H1 l'altezza del canale nella sezione di ingresso e Q la portata di fluido, costante. Comunque credo di non essermi spiegato bene. Non ho difficoltà nel ricavarmi questa espressione, ma nello scrivere l'espressione della forza normale esercitata dal fluido sul piatto superiore. Sugli appunti ho scritto che, nel caso di piatto superiore in movimento e deltaP nullo, la forza è data da \(\displaystyle Fsoll=W*\int_{0}^{L}P(x)-P1 dx \). Che sia negativa, nel mio caso, dipende dal fatto che P1 è la pressione in ingresso al meato, e quindi la massima nell'intervallo [0-L] (Nel caso del piatto superiore in movimento, la forza risulta positiva perché il profilo di P lungo x è diverso).

La mia domanda è: E' giusto calcolare la forza con l'espressione che ho scritto in precedenza, o dovrei integrare SOLO la funzione P(x)? O la forza esercitata sul piatto superiore ha ancora un'altra espressione?

P.S. Comunque sì, le equazioni sono quelle.

[professorkappa]

Ma, io direi che l'errore sta proprio li.
Devi integrare p(x)dx, non la differenza.

$ F=int_0^LP(x)Wdx $

In caso di piatto in movimento pero' bisogna rifare i conti. Il profilo di velocita non e' piu parabolico semplice, cioe' simmetrico, con un massimo a meta meato: sul fondo del meato la vel. e' nulla, ma lo strato a contatto con il piatto si muove della stessa velocita' del piatto. Quindi il vertice del profilo parabolico non si trova a h/2.

[AntonioV.]

E' proprio così. Ieri ho chiesto al professore. Quella P1, in realtà è la pressione atmosferica. Nel caso di Delta di pressione nullo, infatti, la pressione in ingresso (e in uscita) è proprio pari a quella atmosferica. Posto che sulla superficie SUPERIORE del piatto agisca solo la pressione atmosferica, allora, l'integrale di P(x)-P1 dà la forza di sollevamento (l'integrale della sola funzione P(x), invece, la forza normale).

Grazie a tutti!