Esercizio Condensatore e Vettore Spostamento Dielettrico

[Zed92]

Ciao a tutti, ho problemi con questo esercizio di Elettrostatica.

Risposta esatta: A [visualizzate l'immagine per intero, un pezzo a destra è nascosto.]

Non ho ben chiaro concettualmente cosa sia in realtà questo vettore D, in giro per internet ho trovato solo le formule ma il concetto non l'ho capito.

Ho fatto varie ipotesi partendo dalla formula $ D = xi_o\cdot xi_r \cdot \vec E $, ma tutte errate.

Qualcuno può indicarmi il ragionamento da seguire per rispondere alla domanda?

[mathbells]

Ciao Zed92 e benvenuto

e penso che la soluzione migliore è creare un solo post dove racchiuderli tutti man mano

no! per carità. Crea un post per ogni esercizio senno diventa un guazzabuglio.

Inoltre il regolamento (che ti invito a leggere) vieta di postare esercizi tramite link a immagini. Devi scrivere il testo a mano qui sul forum. Se devi postare immagini per illustrare l'esercizio, poi farlo ma devi caricare l'immagine qui sul sito, non mettere link ad immagini esterne.

[Zed92]

Scusami, provvedo subito a riparare

[luc.mm]

In uno dei grafici il vettore $ D $ è continuo. Se hai idea di come è definito scopri che il suo flusso attraverso una superficie è pari alla carica libera contenuta, che nell'attraversamento della tua superficie è nulla, il principio derivata dalla legge di Gauss ed è lo stesso applicato nel teorema di Coulomb per dimostrare la discontinuità di $ E $ attraverso una superficie carica.

[Zed92]

Ciao scusami, so abbastanza poco su questo argomento... potresti essere più chiaro?
A lezione hanno detto solamente la formula sui dielettrici e hanno saltato il resto.

[luc.mm]

Il discorso della scatola cilindrica infinitesima a cavallo di una superficie ti è famigliare? (Teorema di Coulomb per esempio). Se no, ti consiglio di dare un occhio al tuo libro.

Comunque, $ D $ è un campo vettoriale ausiliario che viene usato in presenza di dielettrici perchè ha un flusso attraverso una superficie chiusa particolarmenete (in genere in casi di simmetria) facile da calcolare, dipendente solo dalla carica libera (l'induzione dielettrica che hai in un punto è frutto di tutte le cariche ma il suo flusso è solo dipendente dalla carica libera che la superficie chiusa contiene).

La relazione che lo definisce è $ D=epsilon_0E+P $. Se poi aggiungi il fatto che il dielettrico è lineare ottieni un legame tra il campo che misuri in un punto e la polarizzazione che si trova in quel punto del tipo $ P=epsilon_0(\kappa-1)E $. Questa coppia di relazioni una volta fatte considerazioni di simmetria ti permette di trovare tutti e tre i campi. Una volta che intuitivamente individui come sia disposto $ D $, per esempio nel tuo caso $ D=D(x)u_x $ ha questa dipendenza e quindi è ortogonale alla superficie di separazione. Sai anche che risulta continuo nell'attraversamento di questa (visto che all'interfaccia non hai carica libera), per cui quando sei a distanza $ d/2 $ il suo modulo deve risultare continuo quando ti avvicini da destra e sinistra, risposta $ (A) $.

Per un esercizio generico in cui hai un dielettrico lineare omogeneo ragiona così: prima pensa al campo $ E_0 $senza dielettrico, inserito il dielettrico, sai che la polarizzazione è lineare e sarà parallela al campo che avresti nel vuoto, a questo punto una volta polarizzato, il campo nello spazio cambierà secondo le relazioni che ti ho scritto, per cui se sai com'è la struttura della polarizzazione, sai anche come è $ D $ e com'è il campo $ E $.

Fai attenzione nella legge $ P=epsilon_0(\kappa-1)E $ il campo elettrico non è quello che avevi prima nel vuoto, ma quello che hai adesso (quindi influenzato dalle cariche di polarizzazione ad esempio). Però puoi comunque legare almeno per quanto riguarda la direzione e verso, $ P $ al campo che avevi prima, (in genere parellala ed equiversa per dielettrici lineari).

[Zed92]

Ciao, ho letto la parte del libro riguardante i Dielettrici.

Ho capito che se si tratta di Dielettrici [LIO] allora il vettore D e quindi la polarizzazione, sono parallele e dello stesso segno del campo elettrico. Giusto?

Fin qui ci dovrei essere, ora però non capisco come determino come varia D in base allo spessore del dielettrico.

Non dovrei ottenere sempre lo stesso "Risultato A "anche con uno spessore diverso del dielettrico?

[luc.mm]

Si, infatti. E' indipendente nella struttura funzionale dallo spessore di dielettrico anche se fosse tutto pieno. Diciamo una cosa che ho notato anchio è che i libri (almeno i miei) non ti spiegano mai il motivo dell'andamento di $ D $ dicono soltanto la parola "per simmetria" e non spiegano mai nulla.

Il ragionamento che ho fatto io è questo però. Parti dal caso senza dielettrico il campo è uniforme chiaramente. Sai che la polarizzazione è lineare omogena, il che significa che avrai solamente distribuzioni di polarizzazione superficiale. Poichè il sistema è indefinito lungo $y, z$ le distribuzioni saranno uniformi lungo tali direzioni, ora sai che le distribuzioni che hai in gioco sono tutte superficiali uniformi su piani indefiniti che generano solamente campi uniformi come sai dagli esercizi. Questo significa che $ E=E(x)u_x=costante $ in ognuna delle regioni (due valori diversi ma costanti), per cui essendo $P=epsilon_0(\kappa -1)E $ e $ D=epsilon E $ anche $ D=D(x)u_x $ sarà costante in ciascuna delle due regioni. A questo punto, applichi il teorema di Gauss a una scatola cilindrica infinitesima con una faccia nel primo dielettrico e una nel vuoto (vicino al punto $ d/2 $ ) e scopri che l'induzione dielettrica è continua.

Tu ovviamente non conosci $ E $ che è diverso almeno in modulo dal campo che c'era in assenza di dielettrico (chiaramente uniforme), ma con questi ragionamenti riesci almeno a fare considerazioni sull'andamento di $ D $ e polarizzazione cosicchè col teorema di Gauss puoi calcolartene il flusso e poi usare quello formule.

[Zed92]

Possiamo quindi concludere che, dato che ipotizziamo che il Campo Elettrico sia costante in quanto uniforme, e dato che il vettore D in sintesi si calcola "moltiplicando il Campo Elettrico per delle costanti", allora anche D è costante.

In quanto costante la risposta è per forza A, ovvero non varia in presenza o non del dielettrico.

Giusto?

[luc.mm]

Certo, se $ D=epsilon E $ ed $ E $ è costante allora, anche $ D $ lo sarà. Però $ E $ è costante in ciascuna delle due regioni, ma assume due valori diversi in esse. $ D $ invece in questo caso è continuo lungo la sua componente normale alla superficie di separazione, per cui ha lo stesso valore nelle due regioni. Prima individui tutte le regioni in cui hai i campi poi fai considerazioni su come sono fatti in ciascuna regione e eventualmente concludi che alcuni non cambiano.