[ELM] esercizio toroide ferromagnetico con magnetizzazione residua.

[BRN]

Ciao Forum!
Mi servirebbe una mano con questo esercizio di elettromagnetismo:

Su un toroide sottile di materiale ferromagnetico con raggio medio $R=30 cm$, viene realizzato un avvolgimento di $N=20000$ spire. Sia $I$ la corrente che circola nelle spire.
1) Nel caso $I=0$, calcolare i campi $H$ e $B$ nel toroide e la corrente totale di magnetizzazione $I_m$ sapendo che in queste condizioni il materiale possiede una magnetizzazione residua $M_r=4*10^6 A/m$ uniforme in modulo e orientata come in figura (non metto la figura, ma ha verso antiorario).
2) Se per smagnetizzare completamente il materiale ($M=0$) è necessaria una corrente $I_0=75 A$, calcolare nuovamente i campi in questa situazione, specificandone il verso rispetto al verso di $M_r$ del caso precedente.
3) Calcolare per quale valore di $I$ il campo $B$ si annulla, supponendo che la parte di ciclo di isteresi di interesse sia rappresentabile con una retta. Disegnare tale parte del ciclo riportando i punti corrispondenti ai casi 1,2 e 3.

Mio svolgimento (è più una bozza di svolgimento...):
1) Dato che non c'è corrente nelle spire ed esiste solo una magnetizzazione residua, il campo $B$ presente è quello residuo $B_r=mu_0M_r$
Nel ciclo di isteresi, il valore di $B_r$ lo si ottiene quando $H=0$, pertanto in questo caso $H=0$.
La corrente di magnetizzazione è data da:
$ I_m=oint_(l) M_rdl=M_r2piR $

2) Calcolo il campo $H$ a partire dalla legge di Ampere:
$ oint_(l) Hdl=NI_0 rArr H=(NI_0)/(2piR)$
inoltre $H=B/mu_0-M$ e con $M=0 rArr$ $H=B/mu_0 rArr B=mu_0H$

3) la relazione tra $H$ e $B$ è sempre $H=B/mu_0-M$ e con $B=0 rArr$ $H=-M$
quindi dalla legge di Ampere:
$ oint_(l) Hdl=NI rArr H2piR=NI rArr -M2piR=NI rArr I=-(M2piR)/N$
$M$ è sempre quella residua.

Ammetto che questi esercizi non li so fare, quindi qualche volenteroso mi correggerebbe tutti gli orrori che ho commesso?

Grazie mille!

[RenzoDF]

Potresti postare un'immagine del testo originale del problema?

[BRN]

Eccolo!


Grazie per l'interessamento!

[RenzoDF]

Ok, grazie.

Visto il testo, riposto la mia precedente risposta.

Per i primi due punti concordo, ma per il terzo bisogna ricordare che la magnetizzazione M è funzione del campo magnetizzante H e leggendo che il ciclo di isteresi ovvero B(t) nel secondo quadrante presenta andamento lineare, implica che anche M(H) è da considerare lineare; di conseguenza, determinato il campo coercitivo intrinseco (come hai correttamente fatto tu al punto 2)

$H_{ci}=-\frac{NI_0}{2\pi R}$

che va ad annullare M(H), avremo che per determinare in campo magnetizzante coercitivo Hc che annulla il campo B(H), espresso M(H) nel secondo quadrante come funzione lineare di H, avremo che

$H_c=-M(H_c)=-(M_r-\frac{M_r}{H_{ci}}H_c)$

che porterà a

$H_c=-\frac{M_r}{1-\frac{M_r}{H_{ci}}$

Sostanzialmente la "situazione" nel secondo quadrante è la seguente

fig.1

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[BRN]

Grazie mille RenzoDF

Ok, non avevo considerato il fatto che la magnetizzazione sia funzione di $H$. Comprendo anche che il campo $H_c$ sarà quello da dare in pasto alla legge di Ampere per ricavare $I$, però non capisco perchè abbia questa forma:

$H_c=-M(H_c)=-(M_r-\frac{M_r}{H_{ci}}H_c)$

Mi sfugge forse la relazione che lega $M$ e $M_r$...

[RenzoDF]

... Mi sfugge forse la relazione che lega $M$ e $M_r$...

Dal disegno puoi vedere che la magnetizzazione a partire dal valore $M_r$ per $H=0$ va a diminuire per $H<0$ con una pendenza $M_r/H_{ci} $ e quindi possiamo scrivere

$M(H)=(M_r-\frac{M_r}{H_{ci}}H)=M_r(1-\frac{H}{H_{ci}})$

volendo puoi scrivere la funzione $M(H)$ anche come retta passante per i due punti $(0,M_r)$ e $(H_{ci},0)$.

[BRN]

WOW! sei stato davvero gentile e chiarissimo nella spiegazione!
Oggi stavo provando a risolverne uno con il traferro e già all'inizio mi sono trovato in difficoltà, però apro un nuovo post per questo.

Grazie mille!