Lavoro, potenziale. Esercizio.

Messaggioda Antonio_80 » 28/05/2015, 18:51

Un punto materiale $P$ è soggetto ad una forza $F = (y^2 - x^2)i + 3xyj$. Trovare il lavoro fatto dalla forza quando il punto $P$ si muove dall'origine degli assi $O -= (0,0)$ al punto $A-= (2,4)$ lungo ciascuno dei seguenti cammini:

(1) lungo l'asse $x$ da $(0,0)$ ad $(2,0)$ e poi parallelamente all'asse $y$ fino a $(2,4)$;
(2) lungo l'asse $y$ da $(0,0)$ a $(0,4)$ e poi parallelamente all'asse $x$ fino a $(2,4)$;
(3) lungo la linea retta che passa da $O$ e da $A$;
(4) lungo la parabola $y=x^2$;

La forza è conservativa ?


E' il primo esercizio della serie e mi chiedo come si può impostare una soluzione?
Vi chiedo gentilmente se è possibile un aiuto.
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Re: Lavoro, potenziale. Esercizio.

Messaggioda quantunquemente » 28/05/2015, 19:23

vediamo ad esempio il 3)
prima di tutto,bisogna parametrizzare il segmento $OA$
$ { ( x=t ),( y=2t),( 0leqtleq2 ):} $

$L= int_(O)^(A) f_x dx +f_ydy=int_(0)^(2) (4t^2-t^2) dt+(3t\cdot 2t)2dt=int_(0)^(2) 15t^2 dt $
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Re: Lavoro, potenziale. Esercizio.

Messaggioda Antonio_80 » 28/05/2015, 20:11

Ciao quantunquemente, sei arrivato ad un Lavoro, ma penso che quello che hai fatto per arrivare a impostare quell'integrale sia quanto segue:

la funzione della traccia è scritta così $F(x,y) = (y^2 - x^2)i + 3xyj$, la retta va da $O=(0,0)$ ad $A=(2,4)$, quindi si ha

$F(0,0) =0 $
$F(2,4) = -12i + 24j$

vedendo quello che hai fatto tu, non riesco a capire il perchè hai eguagliato a zero la $F(2,4)$ ? Hai fatto in questo modo

$-12i + 24j =0 $ cioè $12x = 24y-> x=2y$

da cui si capisce che hai ovviamente considerato come parametro la $x=t$ e quindi viene fuori il sistema che giustamente scrivi.


Ma sulla base di cosa hai eguagliato la $F(2,4)$ a zero?
Altra cosa che non sto capendo è sulla base di cosa scrivi l'intervallo $0 <= t <= 2$ :?:
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Re: Lavoro, potenziale. Esercizio.

Messaggioda quantunquemente » 28/05/2015, 20:18

non ho uguagliato $F(2,4)$ a zero
la parametrizzazione che ho scritto deriva dal fatto che il segmento $OA$ si trova sulla retta $y=2x$
avendo posto posto $x=t$ ,siccome $x$ varia in $[0,2]$ sul segmento $OA$,lo stesso fa $t$
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Re: Lavoro, potenziale. Esercizio.

Messaggioda fhabbio » 28/05/2015, 20:28

oppure potresti immediatamente calcolare il rotore del campo $\bar F$ e verificare che non è sempre nullo quindi la forza non può essere conservativa e quindi ti tocca fare 3 integrali di linea ^^
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Re: Lavoro, potenziale. Esercizio.

Messaggioda Antonio_80 » 28/05/2015, 21:03

quantunquemente ha scritto:non ho uguagliato $F(2,4)$ a zero .......

Hai ragione, non avevo fatto queste considerazioni!
Perdonami per il frainteso!
Ultima modifica di Antonio_80 il 28/05/2015, 21:07, modificato 1 volta in totale.
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Re: Lavoro, potenziale. Esercizio.

Messaggioda Antonio_80 » 28/05/2015, 21:06

fhabbio ha scritto:oppure potresti immediatamente calcolare il rotore del campo $\bar F$ e verificare che non è sempre nullo quindi la forza non può essere conservativa e quindi ti tocca fare 3 integrali di linea ^^

Scusami, ma cosa intendi per rotore?
IO so che per verificare che un campo sia conservativo, deve valere che $f_(xy) = f_(yx)$ in termini di derivate miste!
Se si ha quell'uguaglianza, allora il campo è conservativo!

Intendi questo per rotore?
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Re: Lavoro, potenziale. Esercizio.

Messaggioda fhabbio » 28/05/2015, 23:23

mmm non è proprio così.

il rotore è un operatore vettoriale e (in due dimensioni) vale

$rot(\bar F)=((\partial F_y)/(\partial x)-(\partial F_x)/(\partial y))*\hat k$

se il rotore di un campo vettoriale vale $0$ allora il campo non è detto che sia conservativo!
E' una condizione necessaria ma non sufficiente.
Infatti il dominio in cui è definito il campo deve essere anche semplicemente connesso.

Se vale ciò, allora $\bar F$ è conservativo e puoi fare tante cose belle.

Ma mi sembra che non hai sufficiente pratica con l'analisi tra definizioni e parametrizzazioni, giusto?
Mi sembra strano affrontare questi problemi senza avere certe nozioni di base.
Nel frattempo prova fare un po' di esercizio in più. :smt023
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Re: Lavoro, potenziale. Esercizio.

Messaggioda Antonio_80 » 29/05/2015, 12:35

E Per il punto (1) cone deco fare? Avete per favore qualche consiglio?
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Re: Lavoro, potenziale. Esercizio.

Messaggioda quantunquemente » 29/05/2015, 12:53

sempre lo stesso :devi parametrizzare i vari tratti ed applicare la definizione di lavoro
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