Re: Lavoro, potenziale. Esercizio.

Messaggioda Antonio_80 » 29/05/2015, 15:18

Punto (1)
La funzione è $F(x,y) = (y^2 - x^2)i + 3xyj$, la retta va da $O=(0,0)$ ad $A=(2,4)$, il punto (1) vuole che dobbiamo trovare in primis il lavoro fatto lungo l'asse $x$ da $(0,0) $ ad $(2,0)$.

Quindi lungo l'asse delle $x$:
$ { ( x=t ),( y=0),( 0leqtleq2 ):} $

Quindi lungo l'asse delle $y$:
$ { ( x=0 ),( y=s),( 0leqsleq4 ):} $

per questo lavoro lungo l'asse delle $y$ ho considerato che la $x=0$ in quanto è costantemente $x=2$, quindi non penso sia sbagliato, vero?

Il lavoro è dato dalla somma dei lavori nei tratti lungo la $x$ e lungo la $y$ quindi:

$L = int_(O)^(A) f_x dx +f_ydy = int_(0)^(2)f_x dx + int_(0)^(4)f_y dy = int_(0)^(2) -4t^2dt + int_(0)^(4)16s^2 ds $

$L = int_(0)^(2) -4t^2dt + int_(0)^(4)16s^2 ds $

Ho fatto bene?
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Antonio_80
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Re: Lavoro, potenziale. Esercizio.

Messaggioda fhabbio » 29/05/2015, 16:40

Mi correggano i pro se dovessi cadere in errore, premetto sempre che sono uno studente come te ;-)

Il lavoro è la circuitazione del campo $\bar F$ ed esso vale

$L=int_gamma \bar F*\hat t*dl$ dove $gamma$ è il "percorso" che va da $O$ ad $A$

si dimostra che se un campo è conservativo allora esiste un potenziale $U$ tale che $nabla U=-\bar F$ ed il lavoro calcolato lunga una qualsiasi curva che congiunge due punti $A$ e $B$ equivale ad $L=U(B)-U(A)$ ma non è il nostro caso perchè abbiamo visto che non è un campo conservativo (perchè il rotore non è nullo)

ora andiamo a vedere come si calcola il lavoro lungo una curva $gamma$.
Consideriamo per esempio il punto 3 che è un caso più generale.

Dobbiamo parametrizzare la retta che congiunge $O(0,0)$ ed $A(2,4)$.
Nel caso in cui la tua curva è del tipo $y=f(x)$ allora è facile da parametrizzare infatti ti basta porre la $x=t$ e il resto vien da sè.
Vediamo il caso specifico. La retta ha equazione $y=2x$

$ gamma(t)={ ( x=t ),( y=2t):} $
con $( 0leqtleq2 )$

e si capisce perché la $t$ varia da $0$ a $2$ basta guardare le coordinate dei punti in questo caso; vedrai di conseguenza variare anche la coordinata $y$

Apro una parentesi a proposito delle curve.
Una curva $gamma(t)=(x(t),y(t))$ (lo stesso vale nello spazio) la puoi immaginare come la traiettoria tracciata da un corpo puntiforme che si muove nel piano.
Nell'istante di tempo $t=t_0$ il corpo si trova nel punto $P_0$ di coordinate $x(t_0), y(t_0)$
Nell'istante $t_1$ il corpo si trova nel punto $P_1$ di coordinate $x(t_1), y(t_1)$
e così via.

Torniamo al nostro problema.

Dobbiamo calcolare il lavoro

$L=int_gamma \bar F*\hat t*dl$

$\hat t$ è un vettore tangente alla curva in ogni punto

$L=int_gamma \bar F(gamma(t))*gamma'(t)*dt$ abbiamo tutto, quindi

$L=int_0^2 (4t^2-t^2,6t)*(1,2)dt=int_0^2 (4t^2-t^2+12t) dt =int_0^2 15t^2dt$

che si risolve normalmente.
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Vediamo il primo punto ora che è un caso "particolare" in cui $gamma$ va spezzata in due tratti poiché andando da $O$ ad $A$ non si ha un'unica curva regolare del piano del tipo $y=f(x)$.

"particolare" tra virgolette perché come vedrai è molto semplice.

i due tratti sono

$ gamma_1(t)={ ( x=t ),( y=0):} $
con $( 0leqtleq2 )$

$ gamma_2(s)={ ( x=2 ),( y=s):} $
con $( 0leqsleq4 )$

la $x$ non è $0$ come hai detto nel tuo ultimo post.
E' costante, sì, e vale $2$
Riguardando la considerazione fatta sulle curve si capisce perché $gamma_2$ è parametrizzata in tal modo,
isn't it?:smt023

$L=int_(gamma_1) \bar F(gamma_1(t))*gamma_1'(t)*dt+int_(gamma_2) \bar F(gamma_2(s))*gamma_2'(s)*ds$

sostituendo (occhio alle derivate)

$L=int_0^2 (-t^2,0)*(1,0)*dt+int_0^4(s^2-4,6s)*(0,1)*ds=int_0^2 (-t^2)dt+int_0^4 6s*ds$

sarà compito dello studente svolgere il calcolo di questi integrali

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il punto due è uguale al precedente.

Ti faccio osservare che se il lavoro calcolato lungo curve diverse congiungenti due punti ti viene uguale non significa che il campo sia conservativo!
Vale il contrario: se un campo è conservativo allora il lavoro lungo lungo curve diverse congiungenti due punti è uguale

Anyway...
Se hai problemi scrivi. :smt023

Ripassa comunque
Le curve e le parametrizzazioni
I campi vettoriali, i campi conservativi e il calcolo del potenziale :smt023
fhabbio
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