Urti di corpi solidi, fisica sperimentale

[flippo95]

PROBLEMA:
Un’asta lunga l = 1.2 m e di massa M = 2.5 kg, può ruotare in un piano verticale attorno al proprio centro O. Un oggetto puntiforme di massa m = 0.25 kg lanciato verticalmente dal basso verso l’alto, colpisce l’asta con velocità v 0 20 m/s a distanza R = 0.4 m da O e vi resta conficcato. Determinare: a) la velocità angolare del sistema dopo l’urto e b) la velocità angolare del sistema quando ha compiuto una rotazione di 90°

Sono partito scrivendo le due equazioni della dinamica dei corpi rigidi (per la traslazione e per la rotazione) ed ho ricavato la formula per la velocità angolare : $ omega = (Rmv)/I $.
A questo punto devo calcolare il Momento di inerzia I, che per un'asta rigida è $ I=1/12 M l^2 $
A questo punto devo trovare la velocità del centro di massa dopo l'urto.
I dati del problema mi dicono che l'urto è totalmente anelastico per cui $ v_c = v_i *m/(M+m) $
A questo punto la velocità angolare mi viene pari a 0.007

(credo fortemente nella presenza di alcuni errori fin qui)

Il punto b) del problema non sono riuscito a risolverlo

Grazie per il vostro futuro aiuto.


CORREZIONE #1

Mi è venuto un dubbio durante la compilazione di questo topic... quando ho scritto la prima formula sulla velocità angolare, devo mettere la somma delle masse (M+m) essendo l'urto totalmente anelastico?

CORREZIONE #2

Stessa cosa della correzione #1 ma anche per la formula del momento di inerzia?

[professorkappa]

Presumo che l'asta sia in posizione orizzontale - non si capisce dal testo.
Se l'impatto avviene a distanza d=0.4m dal punto di rotazione, la conservazione del momento angolare ti permette di scrivere:

$ mv_0r=I\omega_0$

con I momento di inerzia, rispetto al polo di rotazione, dell' asta M e massa m:

$ I=1/3ML^2+md^2 $

Da quel momento in poi, con la conservazione dell energia trovi la velocita' finale.
Quindi deve valere:

$ 1/2I\omega_0^2 = 1/2I\omega_1^2+MgL/2+mgd $

da cui $\omega_1$

[flippo95]

Presumo che l'asta sia in posizione orizzontale - non si capisce dal testo.
Se l'impatto avviene a distanza d=0.4m dal punto di rotazione, la conservazione del momento angolare ti permette di scrivere:

$ mv_0r=I\omega_0$

con I momento di inerzia, rispetto al polo di rotazione, dell' asta M e massa m:

$ I=1/3ML^2+md^2 $

Da quel momento in poi, con la conservazione dell energia trovi la velocita' finale.
Quindi deve valere:

$ 1/2I\omega_0^2 = 1/2I\omega_1^2+MgL/2+mgd $

da cui $\omega_1$

La ringrazio per la risposta,
ma non ho ben capito, per cui le dico fino a dove sono arrivato.

(sì l'asta è in posizione orizzontale)

Il nostro punto di partenza è lo stesso: $ omega =(Rmv_c)/I_c $

DUBBIO #1: la massa in questa formula deve essere la somma delle due masse (M+m)? E il momento di inerzia deve essere calcolato sul centro di massa, che equivale al centro di rotazione giusto?

Come step successivo, come anche lei ha fatto, ho cercato di calcolare il momento di inerzia, io lo ho calcolato secondo il centro di massa della trave (escludendo la massetta puntiforme) lei lo ha calcolato rispetto ad un polo della trave ed ha sommato il momento di inerzia della massetta puntiforme.

DUBBIO #2
Sono arrivato a capire che il momento di inerzia è dato dalla somma dei momenti di inerzia della trave e della massa puntiforme. Poichè l'asse di rotazione è nel centro di massa e non in un polo della trave l'equazione da utilizzare è $ I_c=1/12*ML^2+mR^2 $
Giusta la mia correzione?

DUBBIO #3
Lei ha utilizzato la conservazione dell'energia per i corpi rigidi, a quale scopo se devo trovare la velocità ANGOLARE finale.
Sostituendo tutto ciò che ho trovato alla prima equazione non ottengo già la velocità angolare?

PARTE B DEL PROBLEMA, come trovo la velocità angolare dopo un giro di 90°?

[professorkappa]

Ti rispondo correggendo una svista. NON avevo visto che l'asta e' imperniata al centro, credevo fosse imperniata a un'estremita'.

Ripartiamo.

Prima dell urto, il momento angolare rispetto al polo O (devi usare il polo per annullare il momento impulsive della reazione in O) e'

$mv_0R$

Immediatamente dopo l'urto, il momento angolare e'

$(M+m)v_c+I\omega_1$

Dove $v_c$ e' la velocita del centro di massa - semplicemente data da $\omega_1*d$, dove d e' la distanza del baricentro dal polo O (che ti devi calcolare, lo lascio fare a te) e I e' la massa totale di inerzia (sfera + asta) calcolata rispetto al polo. ($I={ML^2}/12+mR^2$

Da qui trovi la velocita angolare di partenza del corpo, dopo l'impatto.

Conoscendo questa velocita', conosci la energia cinetica iniziale che sara

$E_k=1/2(M+m)v_c^2+1/2I\omega_1^2$ (ricorda che $v_c$ e $\omega_1$ sono legate da una relazione).

L'energia potenziale rispetto a un piano orizzontale passante per 0 e' nulla.

Quando arriva a 90 gradi, l'energia potenziale e' aumentata (Il baricentro del Sistema si e' alzato, quanto vale????) e l'energia cinetica vale

$1/2(M+m)v_{c2}^2+1/2I\omega_2^2$

L'energia meccanica a 0 gradi deve egualgliare l'energia meccanica a 90 gradi.

Hai tutto qui, ti basta fare un po di calculi, che non voglio fare io, perche ho digitato questo post a mente, senza un pezzo di carta, quindi potrei sbagliare di nuovo in qualche calcolo.

[flippo95]

Sono riuscito a completarlo, grazie mille per il Suo tempo.