prodotto scalare in notazione Bra-Ket

[xshadow]

Salve a tutti.
Ho un dubbio riguardo alla definizione di prodotto scalare secondo la notazione di dirac...

In pratica il prodotto scalare $ <phi|psi> $ l'ho trovato così definito rispetto alle componenti che costituiscono i vettori: $ <phi|psi> $ $ sum_iphi_i^** psi_i $

In questa formula appare il simbolo di coniugazione $ ** $ per le componenti del primo vettore $ phi $ coinvolto nel prodotto scalare $ <phi|psi> $ ...

Ora mi chiedo questa operazione di coniugazione da applicare a tutte le componenti del prima vettore è valida (cioè se ne deve tenere conto) se e solo se le componenti del vettore originario sono espresse in termini di vettore KET ,cioè di $ |phi> $ ...nel qual caso per avere il bra $ <phi| $ ,cioè il duale di $ |phi> $ oltre all'operazione di trasposizione è necessario applicare quella di coniugazione $ ** $ ....e da li si spiega quell'asterisco nella formula generale

Infatti se il primo vettore impegnato nel prodotto scalare (e piu in generale entrambi) è espresso in termini di ket
Siano i ket
$ .| psi> =( ( psi_1 ),( psi_2 ),( psi_3 ) ) $
$ .| phi> =( ( phi_1 ),( phi_2 ),( phi_3) ) $

Il prodotto scalare $ <phi|psi> $ sarà :

$ <phi|psi> =phi_1^** psi_1+phi_2^** psi_2+phi_3^** psi_3 $

Dove ho preso le componenti del duale di $ |phi> $
CHe è equivalente alla formula iniziale $ <phi|psi> $ $ sum_iphi_i^** psi_i $ ...


Ma se il primo vettore l'ho gia in termini di bra e il secondo di ket non è piu necessario applicare l'operazione di coniugazione giusto?

cioè in quel caso avrei semplicemente
$ <phi|psi> $ $ sum_iphi_i psi_i $
Senza alcuna coniugazione delle componenti $ phi_i $ del vettore $ phi $ ,in quanto gia espresse nella notazione "bra"

Mi sembra una cosa banale ma vorrei esserne sicuro al 100%
è corretto??
grazie mille.

[gordnbrn]

Se $|u> =u_1|a1>+u_2|a2>$ e $|v> =v_1|a1>+v_2|a2>$ essendo $|a_1>$ e $|a_2>$ i vettori di una base ortonormale, allora $<u|v> = u_1^**v_1+u_2^**v_2$ e $<v|u> = v_1^**u_1+v_2^**u_2$.

Ma se il primo vettore l'ho gia in termini di bra e il secondo di ket non è piu necessario applicare l'operazione di coniugazione giusto?

Se. per avere un vettore in termini di bra, intendi dire che hai già le componenti in termini di ket alle quali è stata applicata l'operazione di coniugazione complessa, la risposta non può che essere affermativa. E' come chiedersi se, avendo bisogno delle componenti complesse coniugate delle componenti in termini di ket e le ho già, è necessario fare qualcosa. Evidentemente no. Se operassi nuovamente l'operazione di coniugazione complessa otterrei le componenti in termini di ket.

[xshadow]

Si ,grazie!!! intendevo proprio quello!...cioè se avevo gia il vettore bra le cui componenti le ho ottenute dal corrispettivo (duale) ket attraverso l'operazione di coniugazione. Quindi in questo caso (come immaginavo,ma volevo avere una rassicurazione da gente esperta) non devo operare una seconda volta l'operazione di coniugazione.

Un ultima cosa sempre a riguardo del prodotto scalare ma nel caso di funzioni complesse che dovrebbe essere:
$ <psi,phi> =int_()^() psi^** phi d tau $

Ora qui l'operazione di coniugazione interna sulla prima funzione (che in genere puo essere complessa) come la devo intendere?
Cioè in questo caso spesso mi trovo con espressioni del tipo(espressione inventata a caso e che probabilmente non descrive nessun problema reale,ma è solo per fare un esempio) : $ psi=Ae^(alphax ) +iBe^(-alphaz $

In questo caso non ho a che fare con veri e propri ket e bra....quindi qui in un caso del genere se dovessi calcolare $ psi^** $ basterebbe applicare l''operazione di coniugazione alla funzione (- iBe ecc) giusto ? senza stare a farsi mille problemi se è un ket e un bra (visto che in questo caso non mi conviene interpretarla come un vettre bra-ket perchè sarebbe difficile da esprimerla penso)

grazie

[gordnbrn]

La funzione d'onda $psi(x)$ è l'insieme rappresentativo di un ket rispetto alla base in cui l'operatore $hatx$ è diagonale. In altri termini, rispetto alla base costituita dagli autovettori dell'operatore posizione $hatx$. La sua dipendenza da $x$ riflette il fatto che, essendo la base costituita da autovettori corrispondenti ad autovalori che possono assumere uno spettro continuo, le sue componenti sono una infinità con la potenza del continuo. In pratica, ciò che prima era $<n|P> =a_n$ e avevi un numero di componenti finito o al più numerabile, ora è $<x|P> = psi(x)$ e hai un numero di componenti con la potenza del continuo, una vera e propria funzione, la funzione d'onda per l'appunto. In sintesi: puoi tranquillamente considerare $psi(x)$ il tuo ket, anche se sarebbe meglio dire che $psi(x)$ è l'insieme rappresentativo del tuo ket rispetto ad una particolare base "continua". Se vuoi approfondire questi aspetti, ti consiglio la lettura dei primi tre capitoli del Dirac, il libro principe sui fondamenti della meccanica quantistica. In seconda battuta, il primo capitolo del Sakurai, che ha il merito di aver reso più accessibili i concetti espressi nel primo. Tuttavia, non credo ti sia richiesto.

P.S.
Le tue considerazioni sono in sostanza corrette. L'unica osservazione che, a questo punto, mi sento di fare è che non è assolutamente difficile esprimere la funzione d'onda in termini di bra-ket: $<x|P> = psi(x)$ (vedi sopra)

[xshadow]

grazie gordnbrn....cercherò di riflettere sulle tue parole e magari provare a rappresentare una funzione d'onda in termini di vettore di stato ket...

Nel caso avessi problemi, magari ritornerò qui