[ELM] Campi B e H in barra magnetizzata.

[BRN]

Ciao gente! Ho tra le mani questo esercizio che mi è un po' ostico:



Mia soluzione:
1) La magnetizzazione è uniforme e quindi la densità volumica di corrente di magnetizzazione è nulla: $J_(mv)=0$
La densità superficiale di corrente di magnetizzazione è $J_(ms)=M xx hat(n)=2*10^5 A/m$ uscente dal lato alto e entrante dal lato basso.
Infine, essendo le correnti su ambo i lati della barra uguali e contrarie, si ha che la corrente totale è nulla.

2) al centro della sezione, considerando i contributi delle correnti infinitesimali nei quattro angoli della sezione, ho che partendo dalla legge di Biot-Savart:

$B=(mu_0I)/(2pir)$

ottengo che la somma $dB$ di questi contributi giace sull'asse orizzontale che passa per il centro della sezione (asse $x$) e vale:

$dB=2(mu_0I_m)/(2pi sqrt(a^2/2)) hat(u_x)$

da cui, integrando da $0$ a $a/2$ e considerando entrambe le metà della sezione, si ottiene:

$ B=2int_(0)^(a/2) dB dx =(mu_0I_m)/(2pi sqrt(a^2/2))a/2 $

invece per $0 < z < a/2$ mi ritrovo in alto mare...

3)nel punto $z=a/2$, cioè sulla superficie di separazione tra due mezzi, ho la conservazione della componente normale alla superficie di $B$. In quel punto, le correnti uscenti sul lato alto della sezione generano dei campi $B$ con solo componenti normali uguali ed opposte e pertanto il loro contributo si annulla. La stessa cosa vale per le componenti normali dei campi generati dalle correnti entranti sul lato basso della sezione. il risultato è che in $z=a/2$ si ha $B=H=0$.

Mi correggete per favore?

Grazie!

[RenzoDF]

... La magnetizzazione è uniforme e quindi la densità volumica di corrente di magnetizzazione è nulla: ...
La densità superficiale di corrente di magnetizzazione è $J_(ms)=M xx hat(n)=2*10^5 A/m$ uscente dal lato alto e entrante dal lato basso.... la corrente totale è nulla.

Ok

... 2) al centro della sezione, considerando i contributi delle correnti infinitesimali nei quattro angoli della sezione, ho che partendo dalla legge di Biot-Savart:... ottengo che la somma $dB$ di questi contributi giace sull'asse orizzontale che passa per il centro

Questa non la capisco, i contributi sono relativi a tutta la distribuzione di corrente superficiale, cosa c'entrano i "quattro angoli" ? Devi scrivere il contributo elementare in funzione della posizione orizzontale x e sfruttando la simmetria del problema andare ad integrare per 0 < x < a/2, considerando contemporaneamente i quattro contributi: superiore, inferiore e i corrispondenti simmetrici rispetto all'asse z, non credi?

... invece per $0 < z < a/2$ mi ritrovo in alto mare...

Per quanto riguarda il campo in O ci sarebbe una scorciatoia, ricordando il campo sull'asse di un solenoide corto, ma visto che poi ti viene chiesta anche la generica B(0,0,z) fuori asse, ti conviene andare a ricavarti subito quella, per poi particolarizzare in O con B(0.0,0).

... 3)nel punto $z=a/2$, cioè sulla superficie di separazione tra due mezzi, ho la conservazione della componente normale alla superficie di $B$. In quel punto, le correnti uscenti sul lato alto della sezione generano dei campi $B$ con solo componenti normali uguali ed opposte e pertanto il loro contributo si annulla. La stessa cosa vale per le componenti normali dei campi generati dalle correnti entranti sul lato basso della sezione.

Giusto, componenti normali di B sull'asse z non ce ne sono, ma forse ce ne sono di tangenziali.

[BRN]

Questa non la capisco, i contributi sono relativi a tutta la distribuzione di corrente superficiale, cosa c'entrano i "quattro angoli" ? Devi scrivere il contributo elementare in funzione della posizione orizzontale x e sfruttando la simmetria del problema andare ad integrare per 0 < x < a/2, considerando contemporaneamente i quattro contributi: superiore, inferiore e i corrispondenti simmetrici rispetto all'asse z, non credi?

E' proprio quello che ho tentato di fare, ho considerato i quattro contributi (superiore, inferiore e i corrispondenti simmetrici rispetto all'asse z) delle correnti infinitesimali in prossimità degli spigoli della sezione della barra.
Il problema è che, per un generico punto sull'asse z, non riesco a racappezzarmi più con gli angoli e le distanze dal punto...

per quanto riguarda il punto 3), i contributi delle correnti uscenti sono totalmente normali alla superficie di separazione dei mezzi e opposti, quindi si annullano. La stessa cosa succede per i contributi normali delle correnti entranti, ma in questo caso sopravvivono i contributi tangenziali.
Quindi ho che appena al di fuori della superficie di separazione vale:

$dH_(t2)=dH_(t1)=B_(m)/mu_0sintheta$

$dB_t=B_msintheta$

con $B_m$ il valore di $B$ all'interno del materiale e che dovrei trovare al punto 2) dell'esercizio.

[RenzoDF]

Una volta disegnato il quadrato, e un generico punto P:(0,0,z), per ogni generica x i quattro contributi saranno rappresentati da quattro vettori come 1,2,3,4 di figura, i primi due per il lato superiore e i secondi per quello inferiore

fig.1

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per i raggi basterà Pitagora e per la somma vettoriale basterà notare che l'angolo fra 1 e 2 e l'asse x è pari a $\beta$, mentre quello di 3 e 4 $\alpha$; in questo modo sarà semplice ricavare il campo infinitesimo $d\vecB=(dB(z),0,0) $ e da questo integrando per x che va da 0 ad a/2 quello complessivo $B(P)$.

[BRN]

Grazie del disegno, a questo ci ero arrivato. Più che altro il problema viene dopo. Le componenti sull'asse z si compensano a vicenda e quindi rimangono solo le componenti lungo x da sommare. Solamente che mi esce un $dB$ da integrare che non mi piace affatto...

$dB=(mu_0I)/(2pi)[(tg(pi/2-beta))/(sqrt((a/2-z)^2+x^2) )-(tg(pi/2-alpha))/(sqrt((z+a/2)^2+x^2) )]$

[RenzoDF]

In quella relazione (assenza di dx a parte), non capisco da dove arrivino quelle tangenti e nemmeno quella sottrazione, io per proiettare lungo x i vettori 1 e 2 avrei usato il $cos(1beta)$ e per 3 4 il $cos(\alpha)$, sommando i contributi, non sottraendoli.

[BRN]

Ad esempio, la componente sull'asse x del contributo della corrente infinitesima 1, la scrivo sosì:

$B_(1x)=(mu_0I)/(2pisqrt((a/2-z)^2+x^2))(sin(pi/2-beta))/(cos(pi/2-beta))$

considerando anche la componente lungo x del raggio vettore che identifica la posizione del punto P dalla corrente infinitesimale. La sotrazione arriva dal fatto che le correnti entranti sono negative.

Rimani scioccato da tutto ciò?

Sono scarsino in trigonometria, infatti non me l'ha mai insegnata nessuno...

[RenzoDF]

Scusa ma visto che il campo dB1 in P è normale al raggio r che unisce l'elemento infinitesimo dx in 1 al punto P

fig.2

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avremo che per la componente del solo elemento 1 destro superiore sarà

$dB_{1x}=\frac{\mu_0I_m dx}{2\pi r}cos \beta = \frac{\mu_0I_m dx}{ 2\pi r } \frac{(a/2-z)}{r}= \frac{\mu_0I_m dx}{ 2\pi }\frac{ (a/2-z) }{ (a/2-z)^2+x^2 } $

... La sotrazione arriva dal fatto che le correnti entranti sono negative.

Scusa della sincerità BRN, ma se mi rispondi in questo modo, vedo difficile continuare il dialogo; intendi forse dire che la corrente di magnetizzazione sul lato inferiore, essendo di verso opposto a quella del lato superiore, dà un contributo negativo al campo in P?

[BRN]

... La sotrazione arriva dal fatto che le correnti entranti sono negative.

Scusa della sincerità BRN, ma se mi rispondi in questo modo, vedo difficile continuare il dialogo; intendi forse dire che la corrente di magnetizzazione sul lato inferiore, essendo di verso opposto a quella del lato superiore, dà un contributo negativo al campo in P?

Effettivamente tutti i contributi delle correnti stanno sull'asse x con verso positivo, quindi non c'è ragione di considerare le correnti entranti come negative...

Credo, con questi ultimi due esercizi che ho postato, di aver messo a dura prova la tua pazienza. Scusami, ma non era mia intenzione...

A parte questo, grazie dell'aiuto che mi hai dato fino a qui, è stato davvero utile