sistema di riferimento in fisica matematica

[sulne]

ragazzi ho bisogno di una mano per capire un passaggio. è un passaggio di una dimostrazione di fisica matematica ma mi sa che è un problema più di natura geometrica che altro.

sia $\Sigma $ un sistema di riferimento $\Sigma={O(t), E_{1}(t), E_{2}(t), E_{3}(t)} $ in seguito ometterò la dipendenza dal tempo per semplicità di scrittura e indicherò la derivata rispetto al tempo col puntino. Perchè:
$sum_(j ) \delta_{ij}\dot(E_{j})+sum_(j ) (\dot(E_{i})\cdot E_{j})E_{j}=\dot(E_{i})+\dot(E_{i})$

Qualcuno è in grado di motivarmi dettagliatamente questo passaggio?

[navigatore]

Nel primo termine a primo membro, il simbolo $\delta_(ij) $ è il simbolo di Kronecker , che vale $0$ se $i≠j$ , vale $1$ se $i =j$ .

Perciò, facendo la sommatoria rispetto a $j$ , tutti i termini si annullano tranne quello in cui compare $\delta_(ii) = 1$ . Tale termine risulta quindi uguale a $dotE_i$ .

[sulne]

ok. Per il secondo membro invece?

io sarei tentato a dire che il secondo addendo del primo membro è (visto che stiamo parlando di versori):

$sum_(j ) (\dot(E_{i})\cdot E_{j})E_{j}=

sum_(j ) \dot(E_{i}) (E_{j} \cdot E_{j})=

sum_(j ) \dot(E_{i})=

3\dot(E_{i})$

che per qualche motivo a me ignoto è diverso da $\dot(E_{i})$

aiuto qualcuno è in grado di correggere dove sbaglio?

[navigatore]

Ma sei sicuro di quel secondo termine? Non ho mai visto quella scritta , che io ricordi .

La derivata di un vettore di modulo costante è un vettore perpendicolare al vettore dato , di modulo pari a quello del vettore dato moltiplicato per $\omega$ . Le derivate temporali dei versori degli assi mobili danno luogo alle formule di Poisson :

$(dhati)/(dt) = vec\omegaxxvechati$

e analoghe.

[sulne]

si sono sicuro, infatti si tratta proprio della dimostrazione di:

$(partial E_{i})/(partial t) |_{\Sigma}(t)=\Omega(t)xx E_{i}(t)$

dove $\Omega$ è la velocità angolare e $(partial E_{i})/(partial t) |_{\Sigma}(t)$ è la derivata rispetto al tempo calcolata nel sistema di riferimento fisso (mentre $E_{i}(t)$ denota il sistema di riferimento rotante)

[sulne]

acciderbolina sei un genio forse ho capito, correggimi se non è corretto. noi sappiamo che la derivata è ortogonale al vettore quindi quando i=j fa 0 inoltre ci sarà sicuramente un altro j ortogonale a i (un altro zero) e uno parallelo a i (facendo un disegnino mi sembra chiaro) perciò si ottiene la stessa cosa senza sommatoria

$sum_(j ) (\dot(E_{i})\cdot E_{j})E_{j}=(\dot(E_{i})\cdot E_{j})E_{j}=\dot(E_{i}) (E_{j}\cdotE_{j})=\dot(E_{i})$

PS pardon

[navigatore]

Sarei curioso di vedere il disegno, se lo hai capito ben per te. Avevo sospettato che ci fossero di mezzo le formule di Poisson.
Ma non sono un genio .

Per favore ( lo dico per te, non per me), togli di mezzo la prima interiezione!

Il forum non vuole ! Ed è giusto così .

Vanno bene i "capperi" oppure i "cavoli" !

[sulne]

ho usato i numeri (è più facile), es i=2, j=1,2,3

allora la sommatoria scritta per esteso è:

$(\dot(E_{2})\cdot E_{1})E_{1}+(\dot(E_{2})\cdot E_{2})E_{2}+(\dot(E_{2})\cdot E_{3})E_{3}$

siccome $E_{1}, E_{2}, E_{3}$ sono ortogonali tra loro e $\dot(E_{2})$ è ortogonale a $E_{2}$ allora necessariamente (credo) visto che siamo in uno spazio 3-dim si avrà che $\dot(E_{2})$ sarà ortogonale anche ad un altro elemento della base e parallelo all'altro. Supponendo che $\dot(E_{2})$ sia parallelo a $E_{1}$ (comunque non cambia niente) si ha:

$(\dot(E_{2})\cdot E_{1})E_{1}+(\dot(E_{2})\cdot E_{2})E_{2}+(\dot(E_{2})\cdot E_{3})E_{3}=

\dot(E_{2}) (E_{1} \cdot E_{1})+0*E_{2}+0*E_{3}=

\dot(E_{2})$

cioè il nostro $\dot(E_{i})$

secondo te è corretto?

[navigatore]

Facciamo una cosa : indichiamo i tre versori con i più familiari $hati, hatj,hatk$ , e $dothati = (dhati)/(dt) $ sia la derivata temporale del versore $hati$ ( si vede il punto sul cappello di $hati$ ? Indica appunto la derivata temporale .)

Io direi che , essendo $dothati$ ortogonale ad $hati$ , esso giace nel piano determinato da $hatj$ e $hatk$ , quindi è esprimibile come combinazione lineare di questi due versori. Devono perciò esistere due fattori $a$ e $b$ , tali che :

$dothati = ahatj+bhatk$

Scriviamo quindi per esteso tutti i termini della sommatoria in argomento :

$[(ahatj + bhatk)*hati]hati + [(ahatj + bhatk)*hatj]hatj + [(ahatj + bhatk)*hatk]hatk $

nota che le quantità nelle parentesi quadre sono dei "numeri" , cioè sono il risultato dei prodotti scalari contenuti nelle parentesi quadre stesse . Andando a calcolare tali prodotti, si ottiene :

$0hati + ahatj + bhatk = dothati$ .

E questo è quanto si voleva dimostrare.

[sulne]

perfetto!! grazie mille