Circuito con condensatori e resistenza?

[Fab527]

Hmm...non mi è chiaro perchè la carica portata dall'impulso iniziale su $C$ e $C_2$ sia la stessa

visto che siamo all'istante iniziale mi verrebbe da dire che vale $V_0$ ma penso sia sbagliato...anche perchè se la carica sui due è la stessa ma le capacità sono diverse, si devono avere due diverse tensioni

[RenzoDF]

Hmm...non mi è chiaro perchè la carica portata dall'impulso iniziale su $C$ e $C_2$ sia la stessa

Perché quella maglia Vo-C2-C è priva di resistenza e di conseguenza alla chiusura di T il generatore si trova cortocircuitato visto che C2 e C sono scarichi; ne segue che attraverso quella maglia circola una corrente iniziale infinita (idealmente) la carica trasportata va a caricare i due condensatori con tensioni in proporzione inversa alle relative capacità e di conseguenza la tensione su C sale a 18 volt mentre la tensione su C2 a 6 volt.
Chiaramente essendo la corrente infinita, la corrente derivata da R che sale insieme a Vc al valore massimo di $(18V)/(500k\Omega)=36 \mu A$ è trascurabile.

Ne segue che possiamo ricavarci anche la carica inviata da V0 a C2 istantaneamente alla chiusura di T.

Una volta istantaneamente caricati a quei valori però, C comincerà (molto più lentamente) a scaricarsi su R mentre C2 continuerà a caricarsi, fino a raggiungere i valori finali, 0 per il primo e V0 per il secondo, per t tendente a infinito.

[Fab527]

Ok. Proseguendo ho scritto le equazioni per la situazione iniziale di carica

e per quella di scarica chiudendo T' e aprendo T


ti sembrano corrette? Inoltre una cosa che non mi è chiara: quando in un circuito come questo sono presenti svariati condensatori/induttori, la costante di tempo con cui avvengono TUTTE le cariche/scariche etc. è unica per ciascun elemento del circuito vero?

Cioè, lui si riferisce a questa costante di tempo

[RenzoDF]

... Proseguendo ho scritto le equazioni per la situazione iniziale di carica

A dire il vero mi aspettavo un completamento sulla richiesta dell'energia fornita dal generatore, ad ogni modo per quanto riguarda le equazioni nella rete durante la carica ok, anche se a vederle scritte in quel modo, mi viene un attacco di orticaria.

Praticamente nella prima hai scritto 3 KVL e una KCL che però non ti serviranno a rispondere alla richiesta del testo in quanto l'unica cosa che devi determinare in fase di carica è la costante di tempo relativa alla corrente nel resistore destro, e per determinarla devi semplicemente metterti nei suoi panni e cercare di capire come viene "vista" la rete da quella posizione circuitale; normalmente si usa Thevenin, ma qui con i condensatori non so come te l'hanno spiegato.
In sostanza comunque puoi anche in questo caso spegnere i generatori indipendenti e determinare la capacità equivalente vista dai morsetti di R; quanto vale?

Nel secondo schema: hai dimenticato che C1 viene cortocircuitato da T', e quindi prima KVL errata come anche ultima KCL e che C non è carico in quel modo indicato sulle armature.

BTW Ti faccio notare che C1 può non essere considerato visto il suo parallelo con un generatore ideale di tensione; C1 sostanzialmente si carica istantaneamente alla chiusutìra di T e poi rimane carico fino alla chiusura di T' istante nel quale si scarica istantaneamente venendo cortocircuitato.
Ne segue che sia nel primo circuito di carica sia nel secondo circuito di scarica ce lo possiamo togliere dai piedi al fine di analizzare l'andamento del resto della rete.

... Inoltre una cosa che non mi è chiara: quando in un circuito come questo sono presenti svariati condensatori/induttori, la costante di tempo con cui avvengono TUTTE le cariche/scariche etc. è unica per ciascun elemento del circuito vero?

No, in generale in un circuito con più induttori e condensatori il discorso si complica e non si può più parlare di un'unica costante di tempo, in questo caso però, vista la rete degenere, quei tre condensatori, o meglio quei due (C2 e C), possono essere considerati come un unico condensatore equivalente e quindi il discorso si semplifica (impulsi a parte).

... Cioè, lui si riferisce a questa costante di tempo

Lui si riferisce sempre alla costante di tempo che regola il transitorio sul resistore R, sia durante la carica sia durante la scarica.
Detto questo, dopo aver corretto il secondo circuito ed eliminato da entrambi C1, prova a dirmi quale condensatore equivalente "vede" R nei due casi.

[Fab527]

Intanto grazie per l'aiuto, mi sbaglio sempre ma almeno sto imparando qualcosa

Per l'energia a quanto ho capito sarà $ U = V_0 (q+q_1 + q_2)$, dove con le $q$ piccole si intendono le cariche inviate complessivamente dal generatore. Visto che non ci sono resistenze nelle maglie considerate si potranno considerare le cariche inviate già all'istante iniziale e $q_1=C_1V_0$, $q=C*18V$ e $q_2=C_2*6V$

Riscrivendo le equazioni per la scarica



e con $C_(eq)$ intendo il condensatore equivalente vista da $R$ che dovrebbe essere il parallelo di $C$ e $C_2$.

Per la carica



in questo caso se si ha che

puoi anche in questo caso spegnere i generatori indipendenti e determinare la capacità equivalente vista dai morsetti di R

allora la $C_(eq)$ dovrebbe essere la stessa di prima, però non mi è chiaro questo procedimento. Thevenin l'ho sempre applicato quando il "resto del circuito" era costituito esclusivamente da generatori e resistenze.

[RenzoDF]

...Per l'energia a quanto ho capito sarà $ U = V_0 (q+q_1 + q_2)$, dove con le $q$ piccole si intendono le cariche inviate complessivamente dal generatore. Visto che non ci sono resistenze nelle maglie considerate si potranno considerare le cariche inviate già all'istante iniziale e $q_1=C_1V_0$, $q=C*18V$ e $q_2=C_2*6V$

Non proprio, le ultime due cariche q1 e q2 sono la stessa carica, comunque "fuochino"

...e con $C_(eq)$ intendo il condensatore equivalente vista da $R$ che dovrebbe essere il parallelo di $C$ e $C_2$.

Proprio così.

...allora la $C_(eq)$ dovrebbe essere la stessa di prima, però non mi è chiaro questo procedimento. Thevenin l'ho sempre applicato quando il "resto del circuito" era costituito esclusivamente da generatori e resistenze.

Già, ad ogni modo, puoi anche ricavartelo dalle tue equazioni, dalla prima , usando la seconda, avrai che

$q_2(t)=[V_0-\frac{q_C(t)}{C}]C_2=[V_0-Ri_3]C_2$

che inserita nella terza, sempre ricordando la seconda, porterà ad una semplice equazione differenziale del primo ordine in i3(t)

$i_3=-RC_2 \frac{ di_3(t) }{ d t}- RC \frac{ di_3(t) }{ d t}=-\frac{ di_3(t) }{ d t}R(C+C_2) $

e quindi dalla relazione fra C2 e C

$ \frac{ di_3(t) }{ d t}4RC+i_3=0$

che ricordando la condizione iniziale $i_3(0)=3/4V_0/R$, porterà alla soluzione

$i_3(t)=3/4V_0/Re^{-t/(4RC)}$

[Fab527]

Tutto chiaro

[RenzoDF]

Giusto per chiudere il discorso la carica erogata dal generatore è pari alla somma di quella in C1 e di quella complessiva inviata a C2 per caricarlo completamente fino alla tensione di 24 volt, null'altro.

$Q=(C_1+C_2)V_0$

e chiaramente, nelle funzioni del tempo relative alle correnti nei condensatori e nel generatore ci saranno anche dei termini impulsivi, per esempio quella in C2 sarà

$i_2(t)=\frac{3}{4}V_0C \delta (t)+\frac{9V_0}{16R}e^{-t/(4RC)}$