Sistemi di particelle: concetto di urto e impulso

[lotuno]

Buongiorno a tutti, volevo proporre due problemi che ho trovato sul mio libro e che mi hanno lasciato qualche perplessità, sui concetti di impulso e urto.

1) "Una pallina di massa 2m viene lanciata verso l'alto da quota nulla con velocità di 10m/s, esattamente nello stesso istante (t=0) in cui un'altra di massa m posta a quota $h=(v^2)/(2g)$ = 5m viene lasciata cadere sulla verticale della prima pallina. Se l'urto fosse elastico, quanto tempo impiegherebbe complessivamente la seconda pallina ad arrivare a terra? Se invece fosse completamente anelastico, in quanto tempo le palline arriverebbero a terra? "
RISULTATI: tempo elastico: $((8+sqrt(61))v)/(6g)$ = 2.68s; tempo anelastico: $((4+sqrt(28))v)/(6g)$ = 1.58s.


2) Su un biliardo di forma quadrata di lato L e sponde perfettamente lisce vi è un corpo puntiforme m che viene lanciato da un punto della prima sponda AB con una velocità $v_0$ formante un angolo di 45° con la sponda. Sapendo che gli urti coi bordi sono istantanei e perfettamente elastici e che il coefficiente di attrito col piano è $mu$, calcolare: la minima velocità che consente al corpo di ritornare alla sponda AB; dopo quanto tempo dal lancio il corpo si ferma; il modulo dell'impulso trasferito nel primo urto con la seconda spoda CD (nel caso in cui avvenga effettivamente). "
RISULTATI: velocità minima: $sqrt(4sqrt(2)mugL$; tempo: $(v_0)/(mug)$; impulso: $msqrt(2(v_0)^2 - 4qrt(2)mugL)$.


Il primo problema sono riuscito soltanto a concepirlo idealmente, perché avevo intenzione di procedere calcolando il tempo che le due palline impiegavano per incontrarsi a metà strada, poi applicare una conservazione della quantità di moto almeno per l'urto anelastico. Potrebbe essere una scelta corretta? E nel caso di elasticità dell'urto?
Il secondo invece l'ho svolto tutto tranne che per il terzo punto: la velocità minima l'ho trovata applicando il teorema di variazione dell'energia cinetica, $1/2mv^2$ = $2sqrt(2)mmugL$, mettendo $2sqrt(2)$ perché ho supposto di lanciare la pallina perfettamente dal centro della sponda, [quindi la velocità ha una risultante di $|v|sqrt(2)$ che trovo come $sqrt((i^2)+(j^2))$ dei versori relativi alle componenti su x e y] e che essendo l'urto elastico gli angoli di urto sono sempre 90°, quindi basta che la pallina abbia "forza" per compiere metà tragitto affinché poi lo finisca tutto quanto smorzata piano piano dall'attrito [concetto rozzo, non so se si è capito ciò che intendo...]. Il tempo è invece il generico velocità fratto decelerazione, qui proporzionale al coefficiente di attrito. Invece sull'impulso non capisco come mai metta quella formula

Qualcuno può indicarmi la strada corretta (o eventualmente segnalare eventuali miei errori)? Così magari provo a completarli da solo e li faccio miei questi problemi Vi ringrazio in anticipo!

[gordnbrn]

Orientando l'asse verso l'alto con l'origine sulla posizione iniziale della prima pallina:

Prima pallina:

$v_1(t)=-g t+v_0$

$x_1(t)=-1/2g t^2+v_0t$

Seconda pallina:

$v_2(t)=-g t$

$x_2(t)=-1/2g t^2+v_0^2/(2g)$

Quando si urtano:

$[t=v_0/(2g)] ^^ [v_1=v_0/2] ^^ [v_2=-v_0/2] ^^ [x_1=x_2=(3v_0^2)/(8g)]$

Insomma, non si comprende che cosa intendi quando scrivi che si incontrano a metà strada. Se l'urto risulta elastico:

Conservazione quantità di moto:

$1/2v_0=2v_1+v_2$

Conservazione energia cinetica:

$3/8v_0^2=v_1^2+1/2v_2^2$

Risolvendo il sistema: $[v_1=-1/6v_0] ^^ [v_2=5/6v_0]$

A questo punto si può concludere considerando solo il moto della seconda pallina, dopo l'urto si muove verso l'alto, con le nuove condizioni iniziali:

Seconda pallina:

$[x_2(t)=-1/2g t^2+5/6v_0t+(3v_0^2)/(8g)]$

$[x_2(t)=0] rarr [t=((5+2sqrt(13))v_0)/(6g)] rarr [t_(caduta)=v_0/(2g)+((5+2sqrt(13))v_0)/(6g)] rarr$

$rarr [t_(caduta)=((4+sqrt(13))v_0)/(3g)]$

Ho controllato più volte, sei sicuro del risultato nel caso dell'urto elastico? Se l'urto risulta totalmente anelastico è ancora più semplice, visto che basta conservare la quantità di moto. In questo caso il risultato che hai riportato è corretto.

[lotuno]

Ti ringrazio per la risposta, io pensavo che la velocità fosse legata solo all'accelerazione di gravità, quindi logicamente le palline dovevano percorrere lo stesso spazio nello stesso tempo, peraltro per il fatto che anche le velocità iniziali erano uguali... Ecco perché avevo supposto che si incontrassero a metà strada! Adesso comunque ho capito come procedere, proverò a risolverli da me (i risultati sono quelli che ho scritto, ho ricontrollato sul libro). Per il secondo problema invece sapresti dirmi almeno se le supposizioni che ho fatto sono giuste? Almeno per vedere se ho "assorbito" questo tipo di problemi... Ti ringrazio ancora, buona giornata

[lotuno]

Quando si urtano:

$[t=v_0/(2g)] ^^ [v_1=v_0/2] ^^ [v_2=-v_0/2] ^^ [x_1=x_2=(3v_0^2)/(8g)]$

Insomma, non si comprende che cosa intendi quando scrivi che si incontrano a metà strada. Se l'urto risulta elastico:

Conservazione quantità di moto:

$1/2v_0=2v_1+v_2$

Scusami, ma non capisco cosa stiano a simboleggiare le parentesi quadre con il segno di prodotto vettoriale... non capisco poi come hai fatto a ricavare tutte quelle formule in parentesi quadre e come ti sei ricavato la quantità di moto, potresti darmi una spiegazione più dettagliata gentilmente? Grazie

[gordnbrn]

...non capisco cosa stiano a simboleggiare le parentesi quadre con il segno di prodotto vettoriale...

Ho usato le parentesi quadre solo come stile di scrittura. Il simbolo di prodotto vettoriale è in realtà un AND logico.

[lotuno]

Ti ringrazio

[Darius00]

Orientando l'asse verso l'alto con l'origine sulla posizione iniziale della prima pallina:

Prima pallina:

$v_1(t)=-g t+v_0$

$x_1(t)=-1/2g t^2+v_0t$

Seconda pallina:

$v_2(t)=-g t$

$x_2(t)=-1/2g t^2+v_0^2/(2g)$

Quando si urtano:

$[t=v_0/(2g)] ^^ [v_1=v_0/2] ^^ [v_2=-v_0/2] ^^ [x_1=x_2=(3v_0^2)/(8g)]$

Insomma, non si comprende che cosa intendi quando scrivi che si incontrano a metà strada. Se l'urto risulta elastico:

Conservazione quantità di moto:

$1/2v_0=2v_1+v_2$

Conservazione energia cinetica:

$3/8v_0^2=v_1^2+1/2v_2^2$

Risolvendo il sistema: $[v_1=-1/6v_0] ^^ [v_2=5/6v_0]$

A questo punto si può concludere considerando solo il moto della seconda pallina, dopo l'urto si muove verso l'alto, con le nuove condizioni iniziali:

Seconda pallina:

$[x_2(t)=-1/2g t^2+5/6v_0t+(3v_0^2)/(8g)]$

$[x_2(t)=0] rarr [t=((5+2sqrt(13))v_0)/(6g)] rarr [t_(caduta)=v_0/(2g)+((5+2sqrt(13))v_0)/(6g)] rarr$

$rarr [t_(caduta)=((4+sqrt(13))v_0)/(3g)]$

Ho controllato più volte, sei sicuro del risultato nel caso dell'urto elastico? Se l'urto risulta totalmente anelastico è ancora più semplice, visto che basta conservare la quantità di moto. In questo caso il risultato che hai riportato è corretto.

Salve a tutti, scusate la riapertura di questo vecchio post ma pure io mi sono trovato a risolvere questo esercizio nello stesso modo di gordnbrn e penso sia inutile aprire un altro post per riscrivere le stesse formule sue.
Mi stavo domandando se avessimo sbagliato qualcosa ma controllando e ricontrollando, calcoli e procedimento logico dovrebbero essere giusti (?) nonostante il libro riporti un altro risultato per il tempo di caduto nel caso dell'urto elastico di questa benedetta pallina.
Qualcuno potrebbe avere la pazienza di confermare o smentire il mio dubbio?
Grazie in anticipo

[Capitan Harlock]

Il libro sbaglia, l'abbiamo controllato in tanti