Esercizio esame

[antonio2194]

Una sfera uniformemente carica, di raggio $R1$ e densità di carica $ρ$, è racchiusa da una buccia conduttrice neutra, di
raggio interno $R1$ ed esterno $R2 = 2R1$. Una piccola pallina di massa $m$ e carica $q0$ parte dall’infinito con velocità nulla e giunge, attraverso un sottile foro, tale da non perturbare le distribuzioni di carica, nel centro della sfera con velocità $v$.Si determini la carica $q0$...
Parto dal presupposto che questo è l'ultimo dei 4 punti richiesti dal problema.. in quello precendente mi ero calcolato il potenziale integrando il campo elettrico (e cambiando di segno) e mi usciva
$\{((−\rho r^2)/(6\epsilon)+c1 ----- r<R1),(c2 ----- R1<r<R2),((\rho(R1)^3)/(3\epsilon r)+c3-----r>R2):}$
Come faccio a trovarmi il valore della carica? il mio professore si calcola il valore del potenziale $V(0)$ con le costanti del potenziale $V(r)$ e poi impone $q0=-(mv^2)/(2V(0))$.. io non riesco a capire come si calcola le costanti..

[RenzoDF]

.. io non riesco a capire come si calcola le costanti..

Io invece non capisco da dove arrivino quelle costanti.

Direi comunque che già a occhio quei campi siano errati: internamente, visto che la carica inclusa nella generica sfera di raggio r aumenta con il cubo del raggio mentre la superficie con il quadrato, il campo crescerà linearmente a partire da 0 al centro, nel guscio conduttore sarà nullo, ed esternamente dovrà presentare una proporzionalità quadratica inversa rispetto al raggio r.

Ora, per determinare la carica $q_0$ basterà uguagliare energia cinetica a quella potenziale,

$K=q_0(V(\infty)-V(O))=-q_0V(O)$.

Per determinare V(O) basterà andare a sommare le differenze di potenziale sul percorso infinito-centro sfera.

$V(O)=\int_{O}^{\infty}E(r) dr=\int_{O}^{R_1} E(r) dr+\int_{R_1}^{R_2}E(r) dr+\int_{R_2}^{\infty}E(r) dr $

Lascio a te completare ricordandoti che per il primo integrale basta l'area di un triangolo.

[antonio2194]

ma infatti quello che è scritto nel sistema corrisponde al potenziale calcolato nei rispettivi intervalli.. essendo il potenziale l'integrale cambiato di segno del campo elettrico (da qui le costanti).. e quindi quelli scritti nel sistema corrispondono proprio agli integrali da lei scritti

[RenzoDF]

Scusami ma non avevo letto bene ...

e quindi per il calcolo quelle costanti te le ricavi assumendo pari a zero il potenziale all'infinito e di conseguenza andrai a calcolarti V(R2) che corrisponde all'ultimo integrale con la classica formula del potenziale sulla superficie di una sfera carica, al quale sommerai la differenza di potenziale nulla per il tratto compreso fra le superfici del guscio ed infine andrai a sommare la ddp dovuta al campo interno alla sfera.

BTW Qui non c'è nessun "lei" siamo tutti "tu".

[antonio2194]

quindi avrò semplicemente $V(0)=(\rho (R2)^2)/(3\epsilon)+(\rho (R1)^2)/(6\epsilon)$ ed essendo $R2=2R1$ avrò $V(0)=(\rho (R1)^2)/(6\epsilon)+(\rho (R1)^2)/(6\epsilon)$ che mi da $(\rho (R1)^2)/(3\epsilon)$ e che poi vado a sostituire nell'equazione...io avevo seguito lo stesso tuo ragionamento ma il professore avrà fatto i conti male e nel potenziale dentro la sfera a denominatore invece di 6 ha messo 3 (penso si sia dimenticato il 2 del $2R1$) e quindi mi ha fatto un po scervellare..penso sia tutto!! grazie mille davvero gentilissimo!

[RenzoDF]

quindi avrò semplicemente $V(0)=(\rho (R2)^2)/(3\epsilon)+(\rho (R1)^2)/(6\epsilon)$

Non capisco quel primo termine, da dove arriva?

Il potenziale sulla superficie esterna del guscio sarà

$V(R_2)=kQ/R_2=\frac{1}{4\pi\epsilon} \frac{ \rho 4 \pi R_1^3}{3R_2}=\frac{ \rho R_1^3}{3R_2\epsilon}=\frac{ \rho R_1^2}{6\epsilon}$

[antonio2194]

il primo termine è riferito al potenziale interno alla sfera e il secondo termine l potenziale sulla superficie sferica

[RenzoDF]

il primo termine è riferito al potenziale interno alla sfera ...

Come l'hai ricavato?

[antonio2194]

semplicemente ho preso il potenziale scritto sopra nel sistema (il primo caso quello per $r<R1$) e sono andato a sostituire $r=R1$ trovando così quella famosa "costante"

[antonio2194]

Scusami effettivamente hai ragione in quanto ho scritto la formula in modo sbagliato... in realtà risulta essere $V(0)=(\rho(R1)^2)/(3\epsilon(2R1))+(\rho(R1)^2)/(6\epsilon)$ dove il primo termine è il potenziale sulla superficie della buccia e il secondo è il potenziale interno alla sfera