Spinta di Archimede galleggiando tra due liquidi

[DavideGenova]

Ciao, amici! Uno strato di olio di densità \(\rho_o\) galleggia sull'acqua, di densità \(\rho_{\text{H}_2\text{O}}\) e un tappo di sughero di densità \(\rho_s\) galleggia nei liquidi avendo la parte inferiore nell'acqua e quella superiore tutta contenuta nell'olio; si deve determinare quale frazione del volume del tappo è immerso nell'acqua.
Per il principio di Archimede avrei detto che \[\rho_{\text{H}_2\text{O}}V_{\text{immerso nell'acqua}}\cdot g=\rho_s V_{\text{tot}}g\]dato che avrei pensato che l'olio non esercita spinta di Archimede perché non si trova sotto il tappo, ma solo dai lati. Infatti questo non è il motivo per cui questo congegno non funziona?
Perciò otterrei \(V_{\text{immerso nell'acqua}}/V_{\text{tot}}=\rho_s/\rho_{\text{H}_2\text{O}}\). Invece il mio testo dà come soluzione \(V_{\text{immerso nell'acqua}}/V_{\text{tot}}=\frac{\rho_s-\rho_o}{ \rho_{\text{H}_2\text{O}} -\rho_o}\), che è quello che otterrei calcolando un'ipotetica spinta di Archimede proveniente dall'olio:\[\rho_{\text{H}_2\text{O}}V_{\text{immerso nell'acqua}}\cdot g+\rho_o(V_{\text{tot}}-V_{\text{immerso nell'acqua}})g=\rho_s V_{\text{tot}}g\]ma, secondo il mio ragionamento, tale spinta invece non esiste...
Sbaglio vero?
$\infty$ grazie a tutti!

[quantunquemente]

supponiamo che il tappo sia cilindrico con area di base $S$ ed altezza $h$
sia $x$ la parte di $h$ immersa nell'acqua ; premesso che c'è una parte di tappo che riceve la spinta dell'olio ed una parte che riceve la spinta dell'acqua,all'equilibrio si ha
$rho_sShg=rho_(H_2O)Sxg+rho_0S(h-x)g$
cioè
$rho_sh=rho_(H_2O)x+rho_0(h-x)$ da cui
$x/h=(rho_s-rho_0)/(rho_(H_2O)-rho_0)$

[DavideGenova]

Grazie per la risposta! Sì, fin lì ci arrivo: è, scritto diversamente, lo stesso di \( \rho_{\text{H}_2\text{O}}V_{\text{immerso nell'acqua}}\cdot g+\rho_o(V_{\text{tot}}-V_{\text{immerso nell'acqua}})g=\rho_s V_{\text{tot}}g \), ma la cosa che mi lascia perplesso è che l'olio eserciti una spinta di Archimede... Leggo qui che un congegno come questo

non funzionerebbe perché sotto il tubo nel recipiente (ipoteticamente senza perdite e senza attriti) non c'è liquido e la forza dovuta alla pressione ai lati si annulla, ma anche qui l'olio non tocca da sotto il tappo e ne circonda solamente la sommità...

[Falco5x]

Sul fondo del tappo non spinge solo l'altezza della colonna d'acqua, ma anche la colonna d'olio che a sua volta spinge sull'acqua.
Il bilancio delle forze (semplificando g e la superficie S) è dunque:
(o=olio, a= acqua, s= sughero x= altezza sughero immerso in acqua)

$$\eqalign{
& {\text{forza sul fondo del sughero }}{h_o}{\rho _o} + x{\rho _a} \cr
& {\text{forza sulla cima del sughero }}\left( {{h_o} - {h_s} + x} \right){\rho _o} \cr
& {h_o}{\rho _o} + x{\rho _a} - \left( {{h_o} - {h_s} + x} \right){\rho _o} = {h_s}{\rho _s} \cr
& \frac{x}
{{{h_s}}} = \frac{{{\rho _s} - {\rho _o}}}
{{{\rho _a} - {\rho _o}}} \cr} $$

[DavideGenova]

Grazie anche a te, Falco! Scusami, ché non ti seguo: \(h_o-h_s+x\) è nullo? Suppongo che $h_o$ sia l'altezza della parte di tappo immersa nell'olio e $h_s$ quella totale...

[quantunquemente]

quello che mi lascia perplesso è che ti lasci perplesso il fatto che l'olio,avendo una parte di tappo immerso in esso, si permetta di reagire con una spinta
magari la mia è una visione superficiale, ma a me sembra naturale che accada

[Falco5x]

@DavideGenova
$h_o$ è l'altezza totale dell'olio, non la parte di tappo immersa in olio, e $h_o-h_s+x$ è l'altezza dell'olio al di sopra del tappo, quella che spinge sulla faccia superiore

[DavideGenova]

Tutto chiaro: $\infty$ grazie a tutti e due!!!