sonde e lavoro

[fedelm]

Per calcolare la velocità necessaria per orbitare intorno a plutone basta farsi uno schemino e vedere che le due forze agenti sulla sonda sono quella di attrazione e quella centrifuga, uguagliandole troviamo la velocità finale che deve avere.
Quindi l'energia meccanica totale finale è data dall'energia cinetica della sonda + l'energia potenziale gravitazionale tra plutone e sonda.
L'energia meccanica iniziale è data dall'energia cinetica iniziale della sonda (che però non so come calcolare visto che la velocità data dal problema è rispetto al sole e non rispetto a plutone) + l'energia potenziale iniziale che a mio parere è trascurabile visto che specifica che si perderebbe nello spazio extrasolare.
Ho provato anche è ragionare col sistema di riferimento nel sole ma i problemi che sorgono sono i soliti.

[Faussone]

Per calcolare la velocità necessaria per orbitare intorno a plutone basta farsi uno schemino e vedere che le due forze agenti sulla sonda sono quella di attrazione e quella centrifuga, uguagliandole troviamo la velocità finale che deve avere.

Questo vale in un sistema di riferimento rotante in cui la sonda appare ferma (di forza centrifuga infatti si può parlare solo in un sistema rotante). Alla fine dei conti è equivalente, ma io preferisco l'approccio di un osservatore inerziale e quindi preferisco dire che basta imporre che la forza centripeta per mantenere la sonda su quella orbita circolare attorno a Plutone è fornita dall'attrazione gravitazionale.

L'energia meccanica iniziale è data dall'energia cinetica iniziale della sonda (che però non so come calcolare visto che la velocità data dal problema è rispetto al sole e non rispetto a plutone) + l'energia potenziale iniziale che a mio parere è trascurabile visto che specifica che si perderebbe nello spazio extrasolare.

Non direi così. Direi che, provenendo la sonda da distanza pressoché infinita da Plutone, l'energia potenziale iniziale è nulla, visto che si pone per comodità all'infinito lo zero per l'energia potenziale gravitazionale.
Per il discorso sull'energia cinetica iniziale, e l'impossibilità di determinarla dai dati del problema visto che è data la velocità della sonda rispetto al Sole, sono d'accordo. In ogni caso questo conta relativamente per la logica dell'esercizio (è solo un ennesimo esercizio non ben scritto).

[Jonhson91]

Ciao! Stavo cercando anche io la risposta a questo problema. Mi sembra ovvio che in questo problema si consideri Plutone fermo rispetto al sole, altrimenti non ci sono mezzi per risolverlo.
Io per risolvere ho fatto così: Mi sono calcolato l'energia della sonda quando è in volo nello spazio alla velocità di 23000 m/s:

$E_{0}=\frac{1}{2}m V^2$

Poi l'energia quando orbita su una traiettoria circolare intorno a Plutone:

$E_{1}=\frac{1}{2} \frac{m M G}{R}$

E quindi il lavoro per portarlo dalla condizione 0 alla 1:

$L=E_1-E_0=\frac{1}{2}m[GM/R-V^2]$

Però in questo modo non torna il risultato. E non di poco, viene un ordine di grandezza differente.
Secondo me c'è qualche problema nel risultato fornito dal prof. Con i miei conti viene circa $1,24*10^11 J$

[Faussone]

@Jonhson91
navigatore ti ha fatto notare questa discussione sull'identico problema da te inserito, ma non mi pare tu abbia letto i vari messaggi inseriti qui.

Comunque l'energia che deve avere la sonda quando è su quell'orbita circolare non è quella che hai scritto (leggi la discussione dall'inizio).

[Jonhson91]

@Jonhson91
navigatore ti ha fatto notare questa discussione sull'identico problema da te inserito, ma non mi pare tu abbia letto i vari messaggi inseriti qui.

Comunque l'energia che deve avere la sonda quando è su quell'orbita circolare non è quella che hai scritto (leggi la discussione dall'inizio).

L'ho letta, per ottenerla ho semplicemente sommato l'energia potenziale a quella cinetica, in cui a sua volta ho sostituito alla velocità il valore che deve avere per bilanciare l'attrazione gravitazionale a quella quota, cioè $v=\sqrt{G*M/R}$. Il risultato finale è quello che ho scritto, magari ho sbagliato qualche passaggio ma il procedimento è lo stesso già scritto nei messaggi precedenti.

[Faussone]

L'ho letta, per ottenerla ho semplicemente sommato l'energia potenziale a quella cinetica, in cui a sua volta ho sostituito alla velocità il valore che deve avere per bilanciare l'attrazione gravitazionale a quella quota, cioè $v=\sqrt{G*M/R}$. Il risultato finale è quello che ho scritto, magari ho sbagliato qualche passaggio ma il procedimento è lo stesso già scritto nei messaggi precedenti.

Ah ok ti chiedo scusa non avevo capito cosa avessi fatto (non avevo fatto caso a quel $1/2$ davanti), in ogni caso ti consiglio di descrivere quello che fai se fai più passaggi in uno, se no è facile fraintendere e interpretare male.

In ogni caso mi pare lo stesso che manchi l'energia potenziale gravitazionale del satellite quando è su quell'orbita.

[Jonhson91]

L'ho letta, per ottenerla ho semplicemente sommato l'energia potenziale a quella cinetica, in cui a sua volta ho sostituito alla velocità il valore che deve avere per bilanciare l'attrazione gravitazionale a quella quota, cioè $v=\sqrt{G*M/R}$. Il risultato finale è quello che ho scritto, magari ho sbagliato qualche passaggio ma il procedimento è lo stesso già scritto nei messaggi precedenti.

Ah ok ti chiedo scusa non avevo capito cosa avessi fatto (non avevo fatto caso a quel $1/2$ davanti), in ogni caso ti consiglio di descrivere quello che fai se fai più passaggi in uno, se no è facile fraintendere e interpretare male.

Ok, semplicemente:

$E=E_c+E_p=1/2 m V^2 -1/2 {mMG}/r $

dato che per una traiettoria circolare a distanza $r$ : $V= \sqrt{{GM}/r}$

andando a sostituire: $E=1/2 m ({MG}/r) - {mMG}/r = -1/2 {mMG}/r$

C'era un segno sbagliato.
A questo punto, se voglio calcolare il lavoro complessivo fatto sulla Sonda per frenarla, applicando la conservazione dell'energia:

$L=E-E_0=-1/2 {mMG}/r-1/2 m V_0^2=-1/2m [{MG}/r+V_0^2]$

E' corretto? Il risultato numerico però non torna.

[Faussone]

Ok. Così va bene.
Se non torna numericamente, non so che dire.... Di certo l'esercizio si presta a diverse ambiguità, quindi non è facile dire con certezza cosa si aspettasse l'autore del problema.

[fedelm]

A parer mio ci sono degli errori in questo ragionamento perchè anche io all'inizio la pensavo così. Secondo me dobbiamo considerare l'energia iniziale come somma dell'energia cinetica della sonda più l'energia potenziale tra la sonda e il sole e l'energia finale come la somma dell'energia cinetica (considerando la velocità necessaria per rimanere in orbita a plutone) della sonda più l'energia potenziale dovuta all'attrazione tra plutone il sole. Il problema sorge che non abbiamo la distanza sole-Giove e sole-plutone oltre che la massa del sole che comunque non è impossibile ricordarla

[Faussone]

Questo problema può essere risolto con diversi livelli di approssimazione ed il livello di approssimazione migliore (per esempio quanto possiamo, o non possiamo considerare l'attrazione gravitazionale del Sole, rispetto a quella degli altri pianeti nel calcolo) dipende da una serie di dettagli qui non chiariti, tipo la traiettoria di avvicinamento della sonda a Plutone e la posizione degli altri pianeti.
Da come è scritto il testo, che non dà alcuna indicazione su questo, la soluzione proposta da Jonhson mi sembra quella più ragionevole per l'esercizio, ma non è detto affatto sia quella più corretta.
Il testo in un esercizio è molto importante e deve fare un po' da guida in problemi in cui ci possono essere tali tipi di incertezze e questo, come ho già detto, fa pena come testo.

Se poi volessimo buttare via il testo, fare noi tutte le assunzioni ragionevoli che vogliamo e proporci di risolvere il quesito del problema valutando diversi livelli di approssimazione, possiamo farlo, ed è anche un bell'esercizio, ma non è un qualcosa che si può richiedere in un esercizio d'esame.