Vincoli Unilateri.

[Antonio_80]

Sul mio testo ho trovato scritto che:

E immediato rendersi conto che la presenza di vincoli unilateri implica che $0<=theta<= pi$

Ma sulla base di cosa dice questo

[navigatore]

SE non spieghi il contesto nel quale è inserita la frase, è difficile capire da dove nasce!

Tieni presente che "vincolo unilatero" , parlando molto alla buona, significa "vincolo che agisce con una forza su un corpo da un solo lato" . Cioè, la componente normale della reazione vincolare può essere diretta in un solo senso.

Esempio banale : un biglia poggiata su un tavolo. Il tavolo è , per la biglia, un vincolo unilatero.

[Antonio_80]

Ecco il contesto in cui compare, si trova nella seconda immagine, aggiungo anche qualche altra domandina:

Nel seguente esercizio, non sto riuscendo a capire come fa ad arrivare alle coordinate del baricentro dell'asta $OA$, cioè a $G=(4/3lcos theta, 4/3 l sen theta)$

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Ma che formule usa?

Help!

A seguire:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Poi quando va a trovale i punti risolvendo la seguente:

$4kl^2 cos theta(lambda - sen theta)=0$

Io so che le soluzioni sono:

$cos theta=0 if theta_1= pi/2, theta_2=-pi/2$
Ma non vedo considerare dal testo il mio $ theta_2=-pi/2$, perchè

$sen theta = lambda-> theta_3 = arcisin lambda$ e considerando il fatto che l'argomento dell'arcisin è $-1 <= lambda <=1$, ricercando la stabilità posso ridurre l'argomento in questo modo $0 < lambda <=1$, ho detto bene

E poi non capisco da dove prende la seguente soluzione:
$theta_3 = pi - theta_2 if lambda<=1$

P.S. Nav. ho letto molti dei tuoi messaggi e ho visto che sei forte in questi argomenti

[navigatore]

È chiaro dalla figura che l'angolo $theta$ può soltanto variare da $0$ a $\pi$ , essendo appunto il vincolo unilatero, non può assumere valori superiori a $\pi$ oppure negativi, visto come sono orientati gli assi. Ti rendi conto?

non sto riuscendo a capire come fa ad arrivare alle coordinate del baricentro dell'asta OA

La densità dell'asta non è costante rispetto alla lunghezza, varia da $0$ nell'estremo O a $m/l$ nell'estremo A . Perciò , la massa totale si ottiene sommando (ovvero, integrando) tutte le masse elementari $dm = \rho*ds = (ms)/l^2ds $ da $0$ a $2l$ , poiché $OA = 2l$ . E così si ottiene la massa dell'asta OA .
Per trovare il baricentro, si deve calcolare il momento statico di tutte le masse elementari rispetto ad $O$ , che vale l'integrale di questa roba : $s*dm = (ms*s)/l^2*ds$ , esteso da $0$ a $2l$ , e dividere il risultato dell'integrale per la massa totale $2m$ prima calcolata :

$OG = (\int_0^(2l) (ms^2)/l^2 ds )/(2m) = 4/3l $

questo perché l'asta non è omogenea, appunto.
Così si fa in generale : "coordinata baricentro = momento statico / massa".Questa è geometria delle masse.

Certo, $cos \theta = 0$ per $\theta = +-\pi/2$ , ma ho chiarito che per il vincolo unilatero il valore $-\pi/2$ non devi considerarlo. Quindi devi prendere solo $\theta = \pi/2$ .

Infine, dalla (2) , che è la derivata di $U$ rispetto a $\theta$ , hai che ci sono soluzioni anche per : $(\lambda - sen\theta) = 0$ .
Quindi, fermo restando che deve essere $\lambda <=1$ perché altrimenti non può essere uguale a $sen\theta$ , i due valori $\theta_2$ e $\theta_3$ sono supplementari : dato un valore del seno , in questo caso positivo per il vincolo unilatero, ci sono due angoli tra loro supplementari che hanno quel valore come seno.