da Falco5x » 30/07/2015, 08:04
Non è facile da visualizzare, e nemmeno da spiegare, ma mi ci provo.
Trattasi di una scodella bucata a una certa altezza, si lancia una pallina dal bordo con velocità orizzontale e si vuole che non cada nel buco.
E' evidente che la pallina comincerà dopo un po' a scendere di quota, però nel frattempo la sua velocità aumenterà perché l'energia potenziale diminuirà, quindi dovrà crescere l'energia cinetica in modo che la somma resti costante.
La traiettoria della pallina non è facile da visualizzare, si vuole però che arrivata al buco lo lambisca senza cadervi dentro. Come dire che quando arriva al buco vi deve arrivare con velocità solo orizzontale, altrimenti vi cadrebbe dentro.
Dunque tutta l'energia cinetica sarà dedicata alla sola componente orizzontale della velocità.
Analizziamo adesso il momento angolare rispetto al punto O, centro del cerchio costituito dal bordo superiore della scodella, di raggio R.
Poiché la parete della scodella fa reazione soltanto normale, cioè diretta esattamente verso O, questa reazione non fa momento rispetto a O. Per contro la forza di gravità che è verticale fa rispetto a O sempre momento con pura componente orizzontale, cioè non ha componenti verticali.
Ciò porta a concludere che la componente verticale del momento angolare si conserva.
Il valore di tale componente del momento angolare è uguale alla componente orizzontale della velocità moltiplicata per r, cioè per la distanza dall'asse della scodella. Si ha dunque la seguente conservazione:
$$vr = {v_0}R$$
dove v è la componente orizzontale della velocità in un punto qualsiasi della scodella.
Torniamo adesso al caso in cui la biglia sia arrivata a lambire il buco.
Siccome non ci deve cadere dentro, come detto, in quel punto la v è solo orizzontale, dunque la relazione scritta vale in questo caso anche per il modulo della velocità.
D'altra parte la relazione energetica porta a scrivere:
$$\frac{1}
{2}{v^2} = \frac{1}
{2}{v_0}^2 + gh$$
Mettendo le due relazioni assieme e sviluppando i passaggi si ha:
$$\eqalign{
& \frac{1}
{2}{v^2} = \frac{1}
{2}{v_0}^2 + gh \cr
& {v^2} - 2gh = {v_0}^2 \cr
& vr = {v_0}R \cr
& {v_0}^2\frac{{{R^2}}}
{{{r^2}}} - 2gh = {v_0}^2 \cr
& {v_0}^2\left( {\frac{{{R^2}}}
{{{R^2} - {h^2}}} - 1} \right) = 2gh \cr
& {v_0}^2 = \frac{{2gh}}
{{\frac{{{h^2}}}
{{{R^2} - {h^2}}}}} = 2g\frac{{\left( {{R^2} - {h^2}} \right)}}
{h} \cr} $$
Mettendo i numeri si ha:
$$\eqalign{
& {v_0}^2 = 2g\frac{{0,2}}
{{0,4}} = 9,8 \cr
& {v_0} = \sqrt {9,8} = 3,13 \cr} $$
Chuck Norris ha contato fino a infinito. Due volte.