È corretto il mio procedimento per calcolare il momento di inerzia J?

[Marvin94]

Riferendomi all'immagine sottostante, abbiamo la funzione

$ z^2= r^2 / a y $

che ruota attorno all'asse y. Sappiamo che y varia da 0 ad "a". Conosciamo la massa dell'oggetto (di densità uniforme).
Vi sembra giusto il procedimento? Pervenite anche voi al risultato riquadrato?

[Marvin94]

Ho notato un errore nel calcolo di J, che prima di calcolarlo sostituendo la densità dovrebbe essere.

$ {rho r^4 pi a} / 3 $

Quindi nel risultato finale la "a" si semplifica:

$ {2 m r²} /3 $

[Falco5x]

C'è un errore. Il momento d'inerzia è:
$$J = \frac{1}
{3}m{r^2}$$

Questo perché quando consideri il volumetto infinitesimo devi considerare che si tratta del volume di un disco infinitamente sottile, dunque devi considerare il momento d'inerzia elementare di questo dischetto, per cui nel tuo calcolo manca un fattore 1/2:
$$J = \int_0^V {\frac{1}
{2}{z^2}\rho dV} $$

[Marvin94]

Scusa, non capisco.. perché il volume infinitesimo dovrebbe aggiungere quel fattore lì? Quale riga precedente a J=... conterrebbe errori? Perché da li in poi applico solo la definizione di momento di inerzia e faccio le sostituzioni calcolate in precedenza... Grazie in anticipo per la pazienza.

[Falco5x]

Quando tu scrivi>:
$$J = \rho \int_0^V {{z^2}dV} $$
e poi intendi
$$\eqalign{
& dV = Ady \cr
& A = \pi {z^2} \cr} $$
tu non stai applicando la definizione di momento di inerzia, perché non stai prendendo un elemento infinitesimo di volume a distanza z dall'asse, bensì stai prendendo un dischetto di area A e spessore infinitesimo, e di raggio z.
Allora l'integrale va fatto sommando gli infiniti momenti di inerzia elementari di tali dischetti infinitamente sottili.
Ma il momento di inerzia di un disco di tal genere è:
$$dJ = \frac{1}
{2}{z^2}dm = \frac{1}
{2}{z^2}\rho dV = \frac{1}
{2}{z^2}\rho Ady = \frac{1}
{2}{z^4}\rho \pi dy = \frac{1}
{2}{y^2}\frac{{{r^4}}}
{{{a^2}}}\rho \pi dy$$
Posto quindi:
$$\rho = \frac{m}
{V} = \frac{m}
{{\int {dV} }} = \frac{m}
{{\int_0^a {\pi {z^2}dy} }} = \frac{m}
{{\int_0^a {\pi \frac{{{r^2}}}
{a}ydy} }} = \frac{m}
{{\frac{1}
{2}\pi {r^2}a}}$$
e sostituendo si ha:
$$\eqalign{
& dJ = m\frac{{{r^2}}}
{{{a^3}}}{y^2}dy \cr
& J = \int_0^a {m\frac{{{r^2}}}
{{{a^3}}}{y^2}dy = \frac{1}
{3}} m{r^2} \cr} $$

[Marvin94]

Perfetto, sei stato chiarissimo.. finalmente ho capito!