Teorema di Konig e Teorema di Huygens-Steiner, chiarimento

[claudio.s]

Un sistema di due corpi rigidi è costituito da una piattaforma circolare (M =40 kg, R =2 m ) che può ruotare senza attrito attorno ad un'asse verticale, passante per il suo centro e fissato al suolo, e da un disco (m =8 kg, r =0.6 m) che può ruotare
senza attrito attorno ad un asse verticale passante per il suo centro e fissato alla piattaforma, a distanzad = 1.2m dal centro di questa. Le direzioni degli assi di rotazione sono fisse. Si consideri in primo tuogo il seguente stato iniziate:
la piattaforma è ferma , il disco ruota con velocità angolare w0= 14 rad/s. Tra la piattaforma e il disco agisce una forza di attrito radente per cui dopo un certo tempo il disco non ruota più rispetto alla piattaforma. Calcotare:
l) il valore finale del momento angolare del sistema;
2) la variazione di energia cinetica del sistema.
Si consideri successivamente un diverso stato iniziale,
in cui sia la piattaforma che il disco sono
fenni, e si assuma che tra disco e piattafonna
non ci sia ora nessun attrito. Con un motore si porta la
velocità angolare della piattaforma al valore w = 6
rad/s.
3) Calcotare il lavoro fornito dal motore.



scusate la qualità pessima della foto
Inizialmente per il momento angolare iniziale avevo utilizzato il teorema di Huygens-Steiner ma non veniva, e guardando la soluzione del libro ho capito che lui utilizzava il Teorema di Konig; vorrei un chiarimento su questo: per il momento angolare, prendo come polo il vincolo attorno a cui ruota la piattaforma grande, poiché è l'unico vincolo esterno; ora, per calcolare il momento angolare attorno a quel polo devo sapere il momento di inerzia ripetto ad esso, e quello lo posso trovare facilmente, ma anche la velocità angolare..E questa non la so calcolare
quindi per questo motivo ricorro al teorema di Konig, che mi dice che il momento angolare rispetto ad un qualsiasi polo è uguale al momento angolare del centro di massa più $r*mVcm$; tuttavia il disco ruota e basta, quindi il centro di massa è fermo e mi rimane solamente il momento angolare rispetto al centro di massa
è giusto?

[Falco5x]

La prima considerazione da fare è che considerando l'insieme piattaforma + disco, l'unico punto di interazione con il resto dell'universo è il perno della piattaforma, il quale può dare soltanto reazioni in termini di forze ma non reazioni in termini di momenti, poiché è senza attrito.
Pertanto prendendo proprio quel punto come polo di calcolo del momento angolare essendo zero il momento esterno il momento angolare complessivo si conserva.
Il momento angolare iniziale è solo quello relativo al disco, cioè:
$${L_0} = {I_d}{\omega _d} = \frac{1}
{2}{m_d}{R_d}^2{\omega _d}$$
questo perché il centro di massa del disco è fermo.
Il momento angolare finale può essere considerato quello di due corpi rigidi separati, utilizzando per il disco il teorema di Huygens-Steiner, oppure indifferentemente il momento di inerzia di un unico corpo composito, poiché piattaforma e disco si muovono in modo solidale. In entrambi i casi la formula del momento angolare finale è:
$${L_1} = \left( {{I_p} + {I_d}} \right){\omega _1} = \left( {\frac{1}
{2}{m_p}{R_p}^2 + \frac{1}
{2}{m_d}{R_d}^2 + {m_d}{d^2}} \right){\omega _1}$$
Poiché il momento angolare finale è uguale a quello iniziale, eguagliando le due espressioni si ricava la velocità angolare finale, che è l'unica incognita.

[claudio.s]

aspetta forse ho capito male io, ma per il primo momento angolare hai preso il centro del disco piccolo come polo, e per quello finale invece hai preso il centro del disco grande?

[Falco5x]

No, ho preso sempre il centro della piattaforma, il momento angolare iniziale del disco rispetto a quel punto è uguale a quello rispetto al centro del disco perché il suo cm non si muove.

[claudio.s]

okok, quindi è come se avessi usato il Teorema di Konig dove il termine di velocità del centro di massa è nullo?

[Falco5x]

Sì

[claudio.s]

perfetto grazie