Esercizio dubbio sul lavoro

[Kernul]

L'esercizio che ho fatto è il seguente:
Un ragazzo tira una cassa di $50 kg$ con una corda che forma un angolo di $30°$ con l'orizzontale. Il coefficiente d'attrito statico tra cassa e pavimento è $\mu_s = 0.3$ e quello dinamico è $\mu_d = 0.2$. Calcolare il modulo della massima forza $F_max$ che il ragazzo può esercitare senza che la cassa si metta in moto. Se il ragazzo esercita una forza di modulo $F_1 = 1.2 * F_max$ calcolare l'accelerazione della cassa e il lavoro fatto da $F_1$ in $10 s$.

Ho risolto in questo modo:
$F = (F * cos\theta ; F * sin\theta)$
$F_(max) = (- F_(max) ; 0)$
$N = (0 ; N)$
$P = (0 ; -P)$
Quindi, mettendo a sistema e sapendo che la cassa deve rimanere ferma(quindi la risultante delle forze deve essere nulla):
$\{(F * cos\theta - F_(max) = 0),(F * sin\theta + N - P = 0):}$
Poi, sapendo che $F_(max) = \mu_s * N$, si ha:
$\{(F * cos\theta - \mu_s * N = 0),(F * sin\theta + N - P = 0):}$
$\{(F * cos\theta - \mu_s * N = 0),(N = P - F * sin\theta):}$
$\{(F * cos\theta - \mu_s * P - \mu_s * F * sin\theta = 0),(N = P - F * sin\theta):}$
$\{(F * (cos\theta - \mu_s * sin\theta) = \mu_s * P ),(N = P - F * sin\theta):}$
$\{(F = (\mu_s * P) / (cos\theta - \mu_s * sin\theta) = 204.4 N),(N = P - F * sin\theta):}$
$\{(F = 204.4 N),(N = 388.3 N):}$
A questo punto la $F_(max) = 0.3 * 388.3 = 116.5 N$ e quindi la forza esercitata dal ragazzo deve essere minore o uguale a questa forza.
Ora il problema chiede nel caso la forza esercitata dal ragazzo sia $F_1 = 1.2 * F_max$. Quindi ora la cassa è in movimento.
L'accelerazione è quindi:
$F_1 * cos\theta - F_d = m * a_x$
$F_1 * sin\theta + N - P = m * a_y$
$a_x = 0.88 m/s^2$
$a_y = -0.77 m/s^2$
A me sembra un po' strano che venga questa accelerazione negativa sull'asse delle ordinate.
Comunque il modulo dell'accelerazione verrebbe $a = sqrt(a_x^2 + a_y^2) = 1.17 m/s^2$.
Per trovare il lavoro fatto dalla forza $F_1$ in $10 s$ bisogna trovare lo spostamente effettuato dalla cassa in quei $10 s$.
Perciò, per sapere $dx$ basta fare:
$a_x = dv / dt$
$dv_x = a_x * dt = 0.88 * 10 = 8.8 m/s$
$v_x = dx / dt$
$dx = v_x * dt = 8.8 * 10 = 88 m$
Quindi:
$L_1 = F_1 * dx = 139.788 * 88 = 12301.344 J$
E' normale che venga così grande il lavoro?

[navigatore]

A me sembra un po' strano che venga questa accelerazione negativa sull'asse delle ordinate.

Anche a me !

Direi che devi imporre che la cassa rimanga aderente al piano, cioè l' accelerazione lungo y sia zero.

[Kernul]

Ma anche se l'accelerazione lungo l'asse y è 0, se calcolo la seconda equazione, mi viene $-32.306 = 0$ cosa impossibile.
Forse ho sbagliato a calcolarmi la $F_(max)$? E poi la $F$ che mi sono calcolato nel sistema è la forza che realmente il ragazzo applica alla cassa, giusto?

EDIT: Mi sono appena accorto che mi ero dimenticato che il lavoro è $L_1 = |F_1| * |dx| * cos\theta$. Cioè $L_1 = 10653.2764 J$

[navigatore]

Non è corretto il calcolo della forza massima $F_m$ che si può applicare senza che la cassa si muova. Non ho capito come hai ragionato . Ma in ogni caso quando il ragazzo tira la forza è obliqua, quindi anche la forza massima richiesta lo sarà .

Parto da una forza generica $F$ .

La forza applicata generica $F$ forma un angolo di $30°$ col piano. La componente parallela al piano è $Fcos\theta = 0.866F$. Tale forza deve risultare minore o al limite uguale a $\mu_sN$ . Percio deve essere, al limite, $F=F_m$ e quindi :

$0.866F_m = \mu_sN$ .

LA componente normale della reazione del piano è data , per una forza generica $F$ , da : $N = mg - Fsen\theta = mg-0.5F$ .

PErciò, nella condizione limite deve essere : $0.866F_m = \mu_s(mg - 0.5F_m)$

da cui : $ (0.866 + 0.3*0.5)F_m = 0.3* 50* 9.81 \rightarrow 1.016F_m = 147.15N \rightarrow F_m = 144.8N$

Se ci pensi, ti rendi conto che la componente $Fsen\theta$ del tiro della fune alleggerisce la reazione del piano alla forza peso.

E questo discorso vale anche per la seconda parte. Avendo trovato $F_m$ , non ti resta che moltiplicarla per $1.2$ , scomporla nelle due direzioni, e determinare la reazione normale del piano e quindi la forza di attrito dinamico; questa si oppone al moto di trascinamento, quindi si sottrae alla forza motrice.
E quindi trovi l'accelerazione.

Dopo di che, è un moto unif. accelerato, in cui c'è uno spazio percorso in 10s , non è difficile trovarlo.

Lavoro = forza x spostamento ; il problema ti chiede di trovare il lavoro della sola forza motrice , non il lavoro totale delle forze agenti.

[Kernul]

Scusa per il ritardo della risposta.
Il procedimento che ho fatto io ed il tuo a me sembrano uguali.
Insomma, anche io ad un certo punto mi trovo $(cos30° + \mu_s * sin30°)F = \mu_s * m * g$ e mi sono appena accorto di un segno sbagliato nel mio procedimento(invece di fare $(cos30° + \mu_s * sin30°)$ ho fatto $(cos30° - \mu_s * sin30°)$. Per questo poi la F e la N mi vengono sbagliate.
Per quanto riguarda il calcolo dell'accelerazione, in effetti è quella della forza risultate sull'asse $x$ e non di $F_m * 1.2$, giusto?
In questo modo dovrei procedere con:
$F_1 = F_m * 1.2 = 173.76N$
$N = m * g - F_1 sin30° = 403.62 N$
$F_d = \mu_d * N = 80.724 N$
La forza risultante sarebbe:
$F = F_1 cos30° - F_d = 69.756N$
E quindi l'accelerazione $a_x$ sarebbe:
$a_x = F / m = 1.4 m/s^2$
$dx = 1/2 * a_x * t^2 = 70 m$
Il lavoro sarebbe quindi quello svolto da $F_1$, la quale è la forza motrice, cioè quella fatta dal ragazzo, quindi:
$L = F_1 * dx = 12163.2 J$
Giusto?

[navigatore]

Adesso ho buttato via i miei calcoli, comunque mi sembra di ricordare che il valore di $F_1$ e il valore dell'accelerazione sono giusti . Lo spostamento quindi è $70 m$ .
Per il lavoro, devi però considerare la componente parallela al piano della forza esercitata dal ragazzo.

[Kernul]

Scusami! Recentemente ho avuto problemi con il sito! Diceva sempre di aspettare 2 ore...
Comunque sì! Devo moltiplicarlo per il $cos30°$. Grazie!