da marco955 » 18/07/2015, 23:28
Puoi facilmente dimostrare che BNM è un triangolo equilatero, in quanto ha gli angolo di 60°(osservando gli angoli corrispondenti tra le rette parallele MN e AC). Dopo aver di mostrato che PN=KN, poniamo:
$ MN=x $
Essendo BK altezza del triangolo equilatero BMN, avremo che:
$ BK=x/2*sqrt3 $
Consideriamo il triangolo rettangolo PBK. Abbiamo per il teorema di Pitagora:
$ PB^2=PK^2+KB^2 $
$ PK=PN+KN=2KN $ (per quanto hai dimostrato precedentemente) $ =MN=x $
$ PB^2=((x)/2sqrt3)^2+x^2=7/4x^2 $
Facciamo ora alcune considerazioni:
$ /_PNC=/_MNB $ (in quanto angoli opposti al vertice) $ =60° $
Chiamiamo L la proiezione di P su BC. Consideriamo dunque il triangolo rettangolo PLN. Avendo un angolo di 60°(PN^C), avremo le seguenti relazioni tra i lati(tenere conto che $ PN=1/2x $ )
$ PL=1/4xsqrt3 $ e
$ LN=1/4x $
$ CL=BC-BN-LN=2a-x-1/4x=2a-5/4x $
Consideriamo il triangolo rettangolo PLC. Per Pitagora avremo:
$ PC^2=PL^2+CL^2=(2a-5/4x)^2+(1/4xsqrt3)^2=7/4x^2-5ax+4a^2 $
Avolgendo l'equazione alla fine avrai due soluzioni, di cui una negativa che va scartata e l'altra è $ 3/2a $.
Per cui possiamo dire che M deve essere posizionato su AB in modo tale che risulti $ MN=3/2a $ o meglio
$ MN=3/4AB $.
Se hai dei dubbi chiedi pure.