Esercizi sui Vettori

Messaggioda Bad90 » 07/10/2012, 14:55

Esercizio 1

Determinare il modulo del vettore posizione che individua il punto di coordinate:
(a) $ (1.0 m, 2.0 m, 0.0 m) $
(b) $ (0.0 m, 1.0 m, 2.0 m) $
(c) $ (1.0 m, 2.0 m, 3.0 m) $

Spiegazioni

Comincio con il dire che il modulo di un vettore è indipendente dalla sua direzione e non è mai negativo, ha unità di misura, in questo caso si indica in metri $m$, indica così la grandezza del vettore indipendentemente dalla sua direzione. In questi tre casi dati dalla traccia, si hanno tre coordinate, $x,y,z$, che indicano il punto rispetto all’origine degli assi di un sistema di coordinate. Il vettore sarà indicato dalla lettera maiuscola e grassetto F oppure $ vec(F) $, il suo modulo sarà indicato da F.

Risoluzione

a) Punto avente coordinate $(1.0 m, 2.0 m, 0.0 m)$
La formula risolutiva è:

F$=sqrt(F^2 x + F^2y + F^2z)$

F$=sqrt((1.0 m)^2 + (2.0m)^2 + (0.0m)^2)$

F$=sqrt(5.0m) => 2.2 m$

Idem per gli altri due punti.


b) Punto avente coordinate $ (0.0 m, 1.0 m, 2.0 m) $

F$=sqrt((0.0 m)^2 + (1.0m)^2 + (2.0m)^2)$

F$=sqrt(5.0m) => 2.2 m$


c) Punto avente coordinate $ (1.0 m, 2.0 m, 3.0 m) $

F$=sqrt((1.0 m)^2 + (2.0m)^2 + (3.0m)^2)$

F$=sqrt(14.0m) => 3.7 m$
“Il fine principale della filosofia naturale è di formulare le leggi basandosi sui fenomeni, senza formulare ipotesi, risalendo dall'effetto alle cause sino a quando giungiamo alla causa prima che certamente non è meccanica.”

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Re: Esercizi sui Vettori

Messaggioda Bad90 » 07/10/2012, 15:40

Esercizio 2

L’origine di un sistema di coordinate è in un angolo di una stanza rettangolare, e gli assi coordinati giacciono sui tre spigoli che escono da quell’angolo. Una zanzara parte dall’origine e si muove soltanto lungo gli spigoli raggiungendo l’angolo di coordinate $ (4.2m, 3.8m, 2.6m) $.
a) Qual è il percorso di lunghezza minima?
b) Qual è il modulo dello spostamento corrispondente a questo percorso?
c) Qual è la risposta alla domanda (b) se la zanzara vola direttamente dall’origine all’angolo opposto?
d) Qual è la risposta alla domanda (a) se la zanzara cammina lungo le pareti?

Suggerimento: si immagini che le pareti della stanza formino una scatola che può essere sviluppata in modo che le facce giacciono nello stesso piano.

Ho il seguente punto di arrivo:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Immagine


Risoluzione punto a

In questo caso stiamo esaminando un vettore posizione r e quindi si ha r=xi+yj+zk, che localizza il punto di arrivo della zanzara, i versori in grassetto hanno segno positivo. Se si muove lungo gli spigoli, si sposta in tutte e tre le coordinate, potrebbe seguire in primis i lati alla base della stanza, aventi coordinate x e y e poi arrivare al punto posto in z, percorrendo lo spigolo in altezza.Il percorso possibile più corto è quello che non segue gli spigoli, ma che segue una diagonale, dal punto di origini al punto di arrivo.

Cosa posso fare per determinare il percorso minimo :?:

Secondo me, la risposta corretta è in questa:

r$=sqrt(r^2 x + r^2y + r^2z)$

r$=sqrt((4.2 m)^2 + (3.2m)^2 + (2.6m)^2)$

r$=5.8 m$

Quindi il punto a) e b) e c) sono soddisfatti dalla stessa risposta :!: 8-[

Cosa ne dite :?:

Per il punto d) :?: :?:

P.S. Sto cercando di correggere i miei errori nelle simbologie, quindi non stentate a dirmi se sto facendo errori :wink:
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Re: Esercizi sui Vettori

Messaggioda navigatore » 07/10/2012, 20:01

Bad90 ha scritto:......


a) Punto avente coordinate $(1.0 m, 2.0 m, 0.0 m)$
La formula risolutiva è:

F$=sqrt(F^2 x + F^2y + F^2z)$

F$=sqrt((1.0 m)^2 + (2.0m)^2 + (0.0m)^2)$

F$=sqrt(5.0m) => 2.2 m$


Tutto bene, salvo qualche improprietà di linguaggio su cui si può sorvolare.

Ma nell'ultima formuletta che hai scritto, l'unità di misura $m$ che hai messo sotto radice deve essere $m^2$.

Per chiarezza ,va scritto:F$=sqrt(5.0m^2) => 2.2 m$.
Altrimenti, metti $m$ fuori radice e scrivi : F$=sqrt(5.0) m => 2.2 m$

E così nei casi seguenti. I calcoli non li ho verificati.
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Re: Esercizi sui Vettori

Messaggioda Bad90 » 07/10/2012, 20:03

Perfetto, grazie mille :smt023
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Re: Esercizi sui Vettori

Messaggioda navigatore » 07/10/2012, 21:09

Nel testo è scritto che la zanzara si muove soltanto lungo gli spigoli.

Questo mi suggerisce che la risposta al quesito a) sia semplicemente la somma delle lunghezze dei tre spigoli! La zanzara, nel quesito a) , non vola direttamente da un angolo a quello opposto, nè percorre diagonali sui rettangoli che rappresentano le pareti, compreso pavimento e soffitto. Perciò, se non c'è dubbio al riguardo, devi solo sommare le lunghezze dei tre spigoli.

LE risposte ai quesiti b) e c) coincidono, ok.

Per il quesito d), la faccenda è un po' più complicata. Devi immaginare di tagliare il parallelepipedo lungo certi spigoli, sviluppandolo su un piano, ed esaminare i possibili percorsi da un angolo a quello opposto, tracciando sulla superficie sviluppata dei segmenti rettilinei.
Ma non è proprio immediato, se si ammette che la zanzara possa camminare su tutte e 6 le pareti della stanza, incluso pavimento e soffitto, perché bisogna esaminare tre percorsi diversi, tutti rettilinei, e trovare quello di lunghezza minore. Gli sviluppi possibili del parallelepipedo sul piano sono diversi, non uno solo.

Per chiarire, dette $a,b,c,$ le lunghezze dei tre spigoli, i tre percorsi diversi hanno lunghezze :

I ) $L_1 = sqrt[(a+b)^2 + c^2] $

II ) $L_2 = sqrt[a^2+(b + c)^2] $

III ) $L_3 = sqrt[(a+c)^2 + b^2] $

Ci vorrebbe un disegno, per capire meglio il perché di queste formule.

Se però si escludono il pavimento e il soffitto, allora il percorso sulle sole pareti laterali, avente lunghezza minima, è unico: taglia il parallelepipedo lungo uno spigolo verticale, stendi le 4 pareti in un unico rettangolo, e poi rovescia pavimento e soffitto ai lati ( viene fuori una specie di croce...). La diagonale del rettangolo formato da due pareti adiacenti è il percorso cercato, ripeto escludendo tratti sul pavimento e sul soffitto.

Ma secondo me non è un problema adatto a chi inizia a studiare il calcolo vettoriale, e non preoccuparti troppo se non ti è chiaro. Ti consiglio di lasciarlo perdere, il quesito d).
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Re: Esercizi sui Vettori

Messaggioda Bad90 » 07/10/2012, 21:28

Per quanto riguarda il punto a) avevo pensato anche io ciò che hai detto tu, ma solo che ogni tanto ci sono dei trabocchetti e non sono stato convinto, :smt017 .

Sono contento che almeno ho fatto bene i calcoli :)

Ok, lascio stare il punto d), con una nota : Sarà da risolvere". :smt023

Ti ringrazio, adesso medito su quanto detto e fatto :)

Anche se per il punto d) ho pensato di disegnare il volume di una stanza, ecco quì:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Immagine


I piani in basso a sinistra, hanno le origini, mentre il punto in alto a destra è il punto di arrivo della zanzara.

Ho rivisto la teoria, e penso che si potrebbe arrivare alla conclusione, con Pitagora, sempre però, con il procedimento che hai detto tu, cioè pensare di rovesciare le pareti su un piano.....
Adesso provvedo a creare lo sketch 2D, in base a:

Se però si escludono il pavimento e il soffitto, allora il percorso sulle sole pareti laterali, avente lunghezza minima, è unico: taglia il parallelepipedo lungo uno spigolo verticale, stendi le 4 pareti in un unico rettangolo, e poi rovescia pavimento e soffitto ai lati ( viene fuori una specie di croce...). La diagonale del rettangolo formato da due pareti adiacenti è il percorso cercato, ripeto escludendo tratti sul pavimento e sul soffitto.

Ecco il disegno, dammi conferma se è corretto, la diagonale di colore arancione è il percorso della zanzara, escludendo soffitto e pavimento:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Immagine


Ho riportato anche le quote, detto questo, applico pitagora ed avrò:

r $ = sqrt((6.8m)^2+(3.8m)^2) $

r $ = sqrt(46.2m^2+14.4m^2)= 7.7m $

P.S. Se il disegno non è corretto, ditemelo, lo correggo subito :smt023
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Re: Esercizi sui Vettori

Messaggioda navigatore » 07/10/2012, 22:36

Esatto, è proprio quello che dicevo io. Vedo che sei bravo a disegnare...quindi potresti anche cimentarti a sviluppare in piano il parallelepipedo, trovando più di uno sviluppo, e trovando i percorsi che ti dicevo, dall'angolo inferiore destro all'angolo superiore sinistro, o viceversa...insomma hai capito, due angoli opposti.
Se disegni bene gli sviluppi, trovi anche facilmente gli altri due percorsi (uno lo hai già trovato, gli altri due passano per il pavimento e una, o l'altra, delle pareti laterali....prova)

Le tre misure però non sono tutte uguali, e non sai quali sono le misure in pianta (pavimento) e l'altezza della stanza...tu hai considerato che l'altezza sia $3.80 m$, il che è ragionevole, ma la zanzara non ragiona come gli uomini.... mi sa che devi proprio determinare tutte e tre i percorsi! Ti ho dato le formule, si tratta di fare i disegni corrispondenti.
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Re: Esercizi sui Vettori

Messaggioda Bad90 » 07/10/2012, 23:04

navigatore ha scritto:
Le tre misure però non sono tutte uguali, e non sai quali sono le misure in pianta (pavimento) e l'altezza della stanza...tu hai considerato che l'altezza sia $3.80 m$, il che è ragionevole, ma la zanzara non ragiona come gli uomini.... mi sa che devi proprio determinare tutte e tre i percorsi! Ti ho dato le formule, si tratta di fare i disegni corrispondenti.


Dici questo :?: Questo è un primo caso, ma poi ve ne possono essere altri due :!: Poi vediamo di farlo in piano, dimmi se è OK :!:


Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Immagine


Appena mi dai conferma, vedo di perfezionare il modello che ho creato! Se non ho capito male, la zanzara, percorrerà dal seguente punto indicato con le frecce gialle:

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Re: Esercizi sui Vettori

Messaggioda Bad90 » 08/10/2012, 08:41

Esercizio 3

Nello stesso piano di un foglio di carta si introduca un sistema di coordinate $xy$. Servendosi di una riga e di un goniometro, si traccino i seguenti vettori:
a) il vettore posizione che individua il punto $ (55mm, 65mm) $ A ;
b) lo spostamento dal punto $(32mm, 18mm)$ al punto $(87mm, 83mm)$ B;
c) lo spostamento che parte dal punto $(0.0mm, 8mm)$, al modulo di $85mm$ e forma un angolo di $50^o$ con il semiasse positivo delle $x$. C Che cos’hanno in comune questi vettori?

Questa è l’immagine dei tre vettori spostamento:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Immagine


Risposta

Lo spostamento, è un vettore che localizza un punto di inizio $ xy $ e un punto di fine $xy$, ha una direzione, ha un verso.
a) I tre vettori sono diversi, perché hanno differenti direzioni.
b) Il terzo vettore C, cioè quello quotato $85mm$, ha uno spostamento (Intensità) diverso dagli altri due vettori, di una differenza di 0,147mm. Si può determinare questa differenza, utilizzando la formula della distanza tra due punti, sempre grazie al GRANDE PITAGORA:


$ d=sqrt((x_2 –x_1)^2+(y_2 – y_1)^2) $

$d=sqrt((55mm –0)^2+(65mm – 0)^2)$

$d=sqrt(3025mm^2+4225mm^2)=> 85.147mm$

Dunque, abbiamo due vettori che sono uguali A e B perché hanno stessa direzione, stesso verso e stessa intensità, sono solo traslati di una certa distanza,hanno stesso angolo dato dalla $ tan^(-1)=(y/x) $, infatti $tan^(-1)=((65mm)/(55mm))=49.764^o$ mentre un vettore C, ha intensità $85mm$, diversa direzione e verso, infatti hanno un agolo diverso, l’intensità differisce di $ 0,147mm $ rispetto agli altri due che sono uguali ma traslati.
Ultima modifica di Bad90 il 08/10/2012, 09:58, modificato 15 volte in totale.
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Re: Esercizi sui Vettori

Messaggioda navigatore » 08/10/2012, 09:06

Bad90 ha scritto:.....

Dici questo :?: Questo è un primo caso, ma poi ve ne possono essere altri due :!: Poi vediamo di farlo in piano, dimmi se è OK :!:
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Appena mi dai conferma, vedo di perfezionare il modello che ho creato! Se non ho capito male, la zanzara, percorrerà dal seguente punto indicato con le frecce gialle:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Immagine


No Bad, i due punti indicati dalle frecce gialle sul secondo disegno sono in realtà gli estremi del lato corto del pavimento. Pensaci bene, richiudi mentalmente la scatola e te ne rendi conto! Il vertice opposto a quello di partenza, che ti interessa, è all'estremo superiore della faccia inclinata laterale, insomma uno dei due estremi di quella specie di $V$ larga che si vede: sono lo stesso punto, nel solido.
Dovrei farlo io un disegno, ma non sono bravo...

Un consiglio : dai delle lettere agli otto vertici : A,B,....G,H. Poi quando apri la scatola e la stendi sul piano,tieni bloccato il pavimento a terra, e rovescia al suolo tutte le altre, nominando i vertici che vedi sul piano col nome giusto, lo stesso nome che hanno nel solido : sulla figura sviluppata, avrai più vertici con lo stesso nome, che derivano dallo stesso vertice del solido.
È difficile per me farmi capire....
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