Matematicamente.it

Salve a tutti, in questo periodo sto studiando fisica del sistema terra, in particolare il potenziale di una distribuzione di massa. Dopo una serie di passaggi sulla formula del potenziale (tra cui compaiono dei misteriosi polinomi di Legendre) si arriva a parlare di "ordine del potenziale", dove si deduce che col primo ordine (l=1) il potenziale è uguale a quello di una massa puntiforme posta al centro del sistema di riferimento, mentre con l=2 ho una proporzionalità con i momenti di inerzia.
Premetto la mia poca familiarità con questi argomenti, ma non ho capito che cosa si intende per ordine del potenziale.
grazie a chi volesse rispondermi

up

up

Probabilmente, sta facendo un'approssimazione di Taylor di qualche tipo ed ordine si riferisce all'ordine dell'approssimazione.
Tuttavia, bisognerebbe che riportassi il passaggio incriminato o che, almeno, segnalassi la fonte su cui stai studiando.

Si tratta sicuramente dello sviluppo in serie del potenziale in funzioni sferiche. È un argomento non proprio facile

La fonte su cui studio sono gli appunti presi in aula durante le ore di lezione.
Lo scopo di tutti i passaggi è risolvere l'equazione di Laplace
$\nabla^(2) U=0$
Sia $U(r,\theta,\phi)$ e risolvo il laplaciano in coordinate sferiche:

$\nabla^(2) U=(1/r)*(del^(2)(r*U))/(delr^(2))+(1/(r^(2)*sen\theta))*(del(sen\theta*del(U)/(del\theta))/(del\theta))+(1/(r^(2)*sen^(2)\theta))*(del^(2)U/(del\phi^(2)))=0$

Poi fa l'ipotesi che la soluzione si possa scrivere come prodotto di tre fattori, i quali dipendono da una sola variabile ciascuno:
$U(r,\theta,\phi)= ((R(r))/(r))*P(\theta)*Q(\phi)$ e la sostituisco nell'equazione sopra.
Poi moltiplico per $(r^(3)*sen^(2)\theta)/(P*Q*R)$ e ottengo:

$r^(2)*sen^(2)\theta*(1/R)*(d^(2)R/(dr^(2)))+sen\theta*(1/P)*(d(sen\theta*(dP/(d\theta)))/(d\theta))+(1/Q)*(d^(2)Q/(d\phi^(2)))=0$ (1)

osservo che i primi due termini se derivati rispetto a $\phi$ sono nulli, e rimane solo la derivata dell'ultimo che è uguale a zero. Quindi il suo argomento deve essere costante:
$(1/Q)*(d^(2)Q/(d\phi^(2)))=-m^(2)$ dove m è un numero intero.

Si giunge così alla determinazione del fattore $Q(\phi)=cosm\phi$ e $Q(\phi)=senm\phi$.
Divido la (1) per $sen^(2)\theta$ così da far sparire la dipendenza da $\theta$ del primo termine e la dipendenza da r del secondo. Derivo rispetto a r. L'unico termine che dipende da r è il primo e la sua derivata è nulla (dato che gli altri termini non dipendono da r), quindi devo risolvere:
$(r^(2))*(d^(2)R/(dr^(2)))=kR$ con k costante.
Dico che R è descritto da una potenza, cioè lo scrivo come $R(r)=r^(n)$, che sostituito nell'equazione precedente ottengo
$n_1=l+1$ e $n_2=-l$ dato che $n_1+n_2=1$, con l reale.
Ottengo $R(r)=r^(l+1)$ e $R(r)=r^(-l)$

Moltiplico per P e ottengo:
$(1/(sen\theta))*d(sen\theta*dP/(d\theta))/(d\theta)+[l(l+1)-(m^(2)/(sen^(2)\theta))]*P=0$

le soluzioni di questa sono le equazioni associate di Legendre che dipendono da due costanti: l e m, $P_l^m$ dove l è il grado del polinomio, e m non ho capito cos'è. Da qui inizia il dramma. Riporto i passaggi del prof, premettendo che non ho capito niente da qui in avanti:

Cerco le soluzioni con m=0, quindi non ho la dipendenza da $\phi$.
L'equazione da risolvere è
$(1/(sen\theta))*d(sen\theta*dP/(d\theta))/(d\theta)+l(l+1)P=0$.
Fa il cambio di variabile $x=cos\theta$ e suppone che
$P(x)=\sum_{k=0}^\infty(c_k*x^(k))$ e la sostituisce in (non ho capito come viene fuori):
$d((1-x^(2))*dP/(dx))/(dx)+l*(l+1)P=0$
Poi cita una relazione di ricorrenza che lega i coefficienti pari:
$c_(k+2)\rightarrowc_k$
Se inizio la serie con $c_0=1$ e $c_1=0$ ottengo solo potenze pari.
Se inizio la serie con $c_0=0$ e $c_1=1$ ottengo solo potenze dispari.
In generale si ha che le serie divergono in $x=+-1$ (polo nord e polo sud)
Questo non è possibile perchè il potenziale ai poli deve essere definito. Quindi impone che le serie non divergano e questo si verifica solo se l è intero. Nel primo caso l è un intero pari, nel secondo l è un intero dispari.

Alla fine dice che le soluzioni con m=o sono polinomi di grado l: $P_l^(0)$
$\int_(-1)^1P_l(x)*P_(l')(x)dx=0$ con l diverso da l'

Se $m!=0$ e derivo si passa dall'equazione di Legendre a quella associata

$P_l^(m)(x)$ con l=0,1..... e 0<m<l
Arriva alla soluzione generale del laplaciano di U:

$U_l^(m)(r,\theta,\phi)=[c_(lm)cosm\phi+s_(lm)senm\phi]*(1/(r^(l+1)))*P_l^(m)(cos\theta)+[\barc_(lm)cosm\phi+\bars_(lm)senm\phi]r^(l)*P_l^(m)(cos\theta)$

Poi fa una tabella dove trova i valori di $P_l^(m)$
$P_0^(0)=1$
$P_1^(0)=x$
$P_2^(0)=1/2*(3x^(2)-1)$
$P_1^(1)=-sqrt(1-x^(2))$
$P_2^(1)=-3xsqrt(1-x^(2))$
$P_2^(2)=3(1-x^(2))$

Grazie di cuore a chi voglia rispondere

L'argomento è compleso ma ben codificato nella letteratura... Mi sembra che nel tuo scritto manchino le esplicite definizioni di polinomio di Legendre e di polinomio associato di Legendre. Qui c'è un excursus generale della questione:

http://en.m.wikipedia.org/wiki/Associated_Legendre_polynomials

grazie