RR for dummies : lo scambio di segnali e.m. tra OI
Inviato: 29/07/2014, 23:19
Spesso si presenta questo problema : dati due osservatori inerziali OI in moto relativo con velocità $v$, siano essi $O(ct,x)$ e $O'(ct', x')$ , come può ciascun osservatore determinare qual è la velocità relativa dell'altro rispetto a lui, e magari capire pure qualche altra cosetta, per esempio come passa il tempo dell'altro OI rispetto al suo ?
Risposta : per mezzo dello scambio di segnali elettromagnetici.
Precisiamo le circostanze : i due OI sono allineati su una retta, infatti hanno una sola coordinata spaziale, oltre a una coordinata temporale. Ciascuna dei due si considera "in quiete", e considera "in moto" l'altro OI. Ciascuno dei due è dotato di un proprio orologio che scandisce il trascorrere del "suo" tempo, e di una sorgente di luce per inviare segnali e.m. all'altro, nonché di uno specchio per riflettere verso l'altro i segnali che riceve da questo.
I due non sanno altro che questo : 1)vale il principio di Relatività ; 2) la velocità della luce è la stessa per entrambi. Lo spazio si suppone omogeneo e isotropo.
I due quindi non fanno a priori alcuna valutazione sul modo in cui il trascorrere del tempo proprio si rapporta al trascorrere del tempo dell'altro; lo scopo dello scambio di segnali e.m. (emissione e/o riflessione), è proprio questo: determinare la velocità relativa, e capire come si rapportano i tempi (gli intervalli di tempo) propri di ciascuno.
Guardate allora gli schizzi allegati.
Fig.1) O ed O' sono in quiete relativa (linee d'universo parallele, il tempo $ct$ è sull'asse verticale verso l'alto) ; nell'istante A parte un segnale da O verso O', che raggiunge O' in P ed è riflesso immediatamente, tornando ad O in B. La distanza tra O ed O' è data allora da :
$d = c/2(t_B - t_A)$ ------(1)
e l'istante di tempo di O in cui il segnale arriva ad O' è dato da :
$t_M = t_P = 1/2(t_A+t_B) $ ------(2)
Fig 2) se altri osservatori passassero per P con altre linee d'universo, varrebbero ancora le relazioni precedenti, quindi un solo segnale non basta per capire qualcosa quando c'è moto relativo.
Fig 3) supponiamo che O' sia in moto di allontanamento con vel.relativa $v$ costante rispetto a O. E supponiamo che i due abbiano sincronizzato i propri orologi nell'evento A in cui si sono incrociati (questa ipotesi poi si vedrà che non serve neanche).
In un evento P, all'istante $t'$ del suo tempo, O' emette un segnale verso O. Esso arriverà ad O in un istante $t$ del tempo di O, che poniamo uguale a : $t = k t'$ . Il coefficiente $k$ è da determinare, ma possiamo già dire che, valendo il principio di relatività, esso deve avere lo stesso valore sia per O che per O', cioè sia per segnali che O emette verso O' sia per segnali che O' emette verso O . E inoltre, questo $k$ deve essere funzione della velocità relativa $v$.
Perciò :
fig 4) O emette un segnale verso O' all'istante $t_1$ , che arriva a O' in $t' = kt_1$ , ed è riflesso da O' ritornando a O in $t_2 = kt' = k^2t_1$ . Qui ci sono entrambi i principi della RR : il principio di relatività (k è lo stesso per O e per O') e il principio della costanza di $c$ per tutti gli OI.
Per trovare k usando 1) e 2) :
$v = (t_2-t_1)/(t_2+t_1)*c => v/c = (k^2-1)/(k^2+1) => k = sqrt((1+v/c)/(1-v/c))$ ------(3)
come si vede, $k>1$ perché il ricevitore O' si sta allontanando dalla sorgente O .
Notiamo quindi che, per la (2), risulta : $t_M = t_P = (1+k^2)/2*t_1$------(4)
Se il ricevitore O' si avvicina alla sorgente, sappiamo che bisogna scambiare $v$ con $-v$ , quindi per la (3) si ha :
$sqrt((1-v/c)/(1+v/c)) = 1/k < 1 $ ---------(5)
fig 5) Anzichè considerare un solo segnale, ho considerato una serie di tre segnali e.m. emessi da O con intervalli uguali di emissione $\Deltat_e$, che giungono ad O' ad intervalli uguali $\Delta t' = k\Delta t_e$ , e vengono riflessi verso O, al quale arrivano ad intervalli uguali di ricezione :
$\Delta t_r = k^2\Delta t_e$ --------(6)
Nella figura, ho messo anche un altro OI , cioè O'' , in quiete relativa con O; è evidente che O' si allontana da O e si avvicina a O". Quindi si hanno le relazioni :
$\Deltat'' = \Deltat_e => \Deltat'= k *\Deltat_e = k\Deltat'' => \Deltat'' = 1/k\Deltat'$
come prima affermato.
Quindi, se O emette segnali con cadenza regolare verso O' che li riflette verso O, dove arrivano secondo la (6) , vista la linearità dell'espressione e il fatto che $k$ dipende solo da $v$ si può anche far cadere l'ipotesi che gli orologi di O ed O' siano sincronizzati quando si incrociano.
Che ce ne facciamo di questo fattore $k$ , detto "di H. Bondi" (è lui che lo ha inventato) ?
Be', innazitutto, l'osservatore O può calcolare a che velocità si sta allontanando (o avvicinando) l'osservatore O' . Infatti, per l'allontanamento :
$k^2 = (\Deltat_r)/(\Deltat_e) $ da cui :$ v/c = (k^2-1)/(k^2+1)$ , e analoga relazione vale per l'avvicinamento. Se immaginiamo che i segnali a intervalli regolari di emissione siano le creste di un'onda e.m., gli intervalli non sono altro che il periodo $T$ di quest'onda; essendo $\lambda = cT$, si ha per l'allontanamento :
$T_r /T_e = \lambda_r/lambda_e = k^2 = (1+v/c)/(1-v/c)$ ------(7)
e analoga per l'avvicinamento cambiando segno a $v$ .
E questo è ciò che volevamo : avere un sistema per determinare la velocità di O' rispetto ad O. È sufficiente che O emetta un'onda e.m. di cui conosce la $\lambda$ , la quale viene riflessa da O' : quando arriva di ritorno ad O, questi ne misura la lunghezza d'onda, che può essere aumentata (allontanamento) o diminuita (avvicinamento). E così calcola $v/c$ . Inutile dire che la cosa è reciproca.
Notiamo anche che la lunghezza d'onda ricevuta da O' è : $\lambda ' = k\lambda$ , ovvero $\lambda' = 1/k\lambda$.
E questo non è altro che l'effetto Doppler relativistico.
Nel primo caso (allontanamento) si ha un aumento di lunghezza d'onda, quindi un "redshift", misurata da O' . Nel secondo caso (avvicinamento) si ha un "blueshift" misurato da O'.
MA dalle relazioni scritte si ricava anche dell'altro.Si è visto che :
$t' = kt_1$
$t_M = t_P = (1+k^2)/2*t_1$
dividendo membro a membro si ha : $(t')/t_P = (2k)/(1+k^2) =…..= sqrt(1-(v/c)^2)$
e questo che cos'è? Il "rallentamento dell'orologio di O' in moto rispetto ad O" .
Infatti, $t'$ è il tempo misurato da O' per andare dall'evento A all'evento P (fig 4) , mentre $t_P$ è il tempo misurato da O per lo stesso spostamento di O' ( ricordiamoci che i due OI stanno sullo stesso asse $x$, non ci facciamo confondere dal diagramma di Minkowski bidimensionale!) .
Perciò, il tempo tra gli stessi eventi è inferiore per O' rispetto al tempo misurato da O.
Ecco….per ora basta.
MA c'è di più : per mezzo del fattore $k$ si possono ricavare anche la trasformazioni di Lorentz (nella configurazione standard detta) e l'invarianza del 4-intervallo.
Ma questo magari lo faccio un'altra volta.
Risposta : per mezzo dello scambio di segnali elettromagnetici.
Precisiamo le circostanze : i due OI sono allineati su una retta, infatti hanno una sola coordinata spaziale, oltre a una coordinata temporale. Ciascuna dei due si considera "in quiete", e considera "in moto" l'altro OI. Ciascuno dei due è dotato di un proprio orologio che scandisce il trascorrere del "suo" tempo, e di una sorgente di luce per inviare segnali e.m. all'altro, nonché di uno specchio per riflettere verso l'altro i segnali che riceve da questo.
I due non sanno altro che questo : 1)vale il principio di Relatività ; 2) la velocità della luce è la stessa per entrambi. Lo spazio si suppone omogeneo e isotropo.
I due quindi non fanno a priori alcuna valutazione sul modo in cui il trascorrere del tempo proprio si rapporta al trascorrere del tempo dell'altro; lo scopo dello scambio di segnali e.m. (emissione e/o riflessione), è proprio questo: determinare la velocità relativa, e capire come si rapportano i tempi (gli intervalli di tempo) propri di ciascuno.
Guardate allora gli schizzi allegati.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Fig.1) O ed O' sono in quiete relativa (linee d'universo parallele, il tempo $ct$ è sull'asse verticale verso l'alto) ; nell'istante A parte un segnale da O verso O', che raggiunge O' in P ed è riflesso immediatamente, tornando ad O in B. La distanza tra O ed O' è data allora da :
$d = c/2(t_B - t_A)$ ------(1)
e l'istante di tempo di O in cui il segnale arriva ad O' è dato da :
$t_M = t_P = 1/2(t_A+t_B) $ ------(2)
Fig 2) se altri osservatori passassero per P con altre linee d'universo, varrebbero ancora le relazioni precedenti, quindi un solo segnale non basta per capire qualcosa quando c'è moto relativo.
Fig 3) supponiamo che O' sia in moto di allontanamento con vel.relativa $v$ costante rispetto a O. E supponiamo che i due abbiano sincronizzato i propri orologi nell'evento A in cui si sono incrociati (questa ipotesi poi si vedrà che non serve neanche).
In un evento P, all'istante $t'$ del suo tempo, O' emette un segnale verso O. Esso arriverà ad O in un istante $t$ del tempo di O, che poniamo uguale a : $t = k t'$ . Il coefficiente $k$ è da determinare, ma possiamo già dire che, valendo il principio di relatività, esso deve avere lo stesso valore sia per O che per O', cioè sia per segnali che O emette verso O' sia per segnali che O' emette verso O . E inoltre, questo $k$ deve essere funzione della velocità relativa $v$.
Perciò :
fig 4) O emette un segnale verso O' all'istante $t_1$ , che arriva a O' in $t' = kt_1$ , ed è riflesso da O' ritornando a O in $t_2 = kt' = k^2t_1$ . Qui ci sono entrambi i principi della RR : il principio di relatività (k è lo stesso per O e per O') e il principio della costanza di $c$ per tutti gli OI.
Per trovare k usando 1) e 2) :
$v = (t_2-t_1)/(t_2+t_1)*c => v/c = (k^2-1)/(k^2+1) => k = sqrt((1+v/c)/(1-v/c))$ ------(3)
come si vede, $k>1$ perché il ricevitore O' si sta allontanando dalla sorgente O .
Notiamo quindi che, per la (2), risulta : $t_M = t_P = (1+k^2)/2*t_1$------(4)
Se il ricevitore O' si avvicina alla sorgente, sappiamo che bisogna scambiare $v$ con $-v$ , quindi per la (3) si ha :
$sqrt((1-v/c)/(1+v/c)) = 1/k < 1 $ ---------(5)
fig 5) Anzichè considerare un solo segnale, ho considerato una serie di tre segnali e.m. emessi da O con intervalli uguali di emissione $\Deltat_e$, che giungono ad O' ad intervalli uguali $\Delta t' = k\Delta t_e$ , e vengono riflessi verso O, al quale arrivano ad intervalli uguali di ricezione :
$\Delta t_r = k^2\Delta t_e$ --------(6)
Nella figura, ho messo anche un altro OI , cioè O'' , in quiete relativa con O; è evidente che O' si allontana da O e si avvicina a O". Quindi si hanno le relazioni :
$\Deltat'' = \Deltat_e => \Deltat'= k *\Deltat_e = k\Deltat'' => \Deltat'' = 1/k\Deltat'$
come prima affermato.
Quindi, se O emette segnali con cadenza regolare verso O' che li riflette verso O, dove arrivano secondo la (6) , vista la linearità dell'espressione e il fatto che $k$ dipende solo da $v$ si può anche far cadere l'ipotesi che gli orologi di O ed O' siano sincronizzati quando si incrociano.
Che ce ne facciamo di questo fattore $k$ , detto "di H. Bondi" (è lui che lo ha inventato) ?
Be', innazitutto, l'osservatore O può calcolare a che velocità si sta allontanando (o avvicinando) l'osservatore O' . Infatti, per l'allontanamento :
$k^2 = (\Deltat_r)/(\Deltat_e) $ da cui :$ v/c = (k^2-1)/(k^2+1)$ , e analoga relazione vale per l'avvicinamento. Se immaginiamo che i segnali a intervalli regolari di emissione siano le creste di un'onda e.m., gli intervalli non sono altro che il periodo $T$ di quest'onda; essendo $\lambda = cT$, si ha per l'allontanamento :
$T_r /T_e = \lambda_r/lambda_e = k^2 = (1+v/c)/(1-v/c)$ ------(7)
e analoga per l'avvicinamento cambiando segno a $v$ .
E questo è ciò che volevamo : avere un sistema per determinare la velocità di O' rispetto ad O. È sufficiente che O emetta un'onda e.m. di cui conosce la $\lambda$ , la quale viene riflessa da O' : quando arriva di ritorno ad O, questi ne misura la lunghezza d'onda, che può essere aumentata (allontanamento) o diminuita (avvicinamento). E così calcola $v/c$ . Inutile dire che la cosa è reciproca.
Notiamo anche che la lunghezza d'onda ricevuta da O' è : $\lambda ' = k\lambda$ , ovvero $\lambda' = 1/k\lambda$.
E questo non è altro che l'effetto Doppler relativistico.
Nel primo caso (allontanamento) si ha un aumento di lunghezza d'onda, quindi un "redshift", misurata da O' . Nel secondo caso (avvicinamento) si ha un "blueshift" misurato da O'.
MA dalle relazioni scritte si ricava anche dell'altro.Si è visto che :
$t' = kt_1$
$t_M = t_P = (1+k^2)/2*t_1$
dividendo membro a membro si ha : $(t')/t_P = (2k)/(1+k^2) =…..= sqrt(1-(v/c)^2)$
e questo che cos'è? Il "rallentamento dell'orologio di O' in moto rispetto ad O" .
Infatti, $t'$ è il tempo misurato da O' per andare dall'evento A all'evento P (fig 4) , mentre $t_P$ è il tempo misurato da O per lo stesso spostamento di O' ( ricordiamoci che i due OI stanno sullo stesso asse $x$, non ci facciamo confondere dal diagramma di Minkowski bidimensionale!) .
Perciò, il tempo tra gli stessi eventi è inferiore per O' rispetto al tempo misurato da O.
Ecco….per ora basta.
MA c'è di più : per mezzo del fattore $k$ si possono ricavare anche la trasformazioni di Lorentz (nella configurazione standard detta) e l'invarianza del 4-intervallo.
Ma questo magari lo faccio un'altra volta.