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Devo calcolare il baricentro di un triangolo di lati $a$ e $b$.

La formula per calcolare il baricentro è questa:
$1/m \int x dm$
Allora:
$dm=\rho ds$ dove $ds$ è l'area dell'elementino che vado a considerare, $\rho$ è la densità.
Quindi:
$ds=dx y$ dove $dx$ è la base dell'elementino ed $y$ è l'altezza.
E qui mi blocco, non so più andare avanti, perché ottengo una cosa del genere:
$1/m \int x \rho ds= \rho / m \int xy dx$

Come proseguo?

Primo tentativo:

se indico con $\gamma$ l'angolo a sinistra del triangolo e con $x$ la distanza dall'elementino, ottengo che:
$x tan \gamma= y$
e quindi:
${\ rho tan \gamma} / m \int x^2 dx $
È giusto come ragionamento?

Wintel ha scritto:Devo calcolare il baricentro di un triangolo di lati $ a $ e $ b $.
…….
La formula per calcolare il baricentro è questa:
$ 1/m \int x dm $

innanzitutto, se il triangolo è omogeneo , liberati di massa e densità, e calcola il baricentro dell'area $A$.

Comincia dalla coordinata $x_G$ :

$x_G = 1/A \int x dA $

Il triangolo ha base $L$ e altezza $H$ , quindi : $ A = 1/2LH$ .

$ dA = ydx = x tan \gamma dx$

Quindi hai : $ x_G = 1/A tan \gamma\int_0^L x^2 dx = ……$

continua un po' tu ora.

Allora:
$x_G=1/A tan \gamma \int_{0}^{L} x^2 dx= 2/{LH} tan \gamma L^3 /3=2/H tan \gamma L^2 /3$
Il ragionamento effettivamente non fa una grinza, come si suol dire.
L'esercizio porta come soluzione $G(a/3; b/3)$
Dov'è che sbaglio? Eppure il ragionamento mi sembra corretto.

Provo a ricondurmi al risultato del libro:
$x_G=2/H tan \gamma L^2 /3= 2/H {sin \gamma} / {cos \gamma} L L/3$
noto che:
$L/cos \gamma = i$ dove con $i$ indico l'ipotenusa; e così ottengo:
$x_G=2/H i sin \gamma L/3$
Ma noto ancora che:
$i sin \gamma= H$ ed alla fine ottengo:
$x_G=2 L/3$

C'è un due di troppo.

Wintel ha scritto:Allora:
$ x_G=1/A tan \gamma \int_{0}^{L} x^2 dx= 2/{LH} tan \gamma L^3 /3=2/H tan \gamma L^2 /3 $

$tan\gamma = H/L$ . Quindi ottieni : $x_G = 2/3L$ . Questa è l'ascissa di G nel tuo disegno; come si sa dalla geometria elementare, G si trova a $ 2/3L$ dal vertice in $O$ .

Non c'è niente di troppo. Ora fai il calcolo per $y_G$ .