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Ciao a tutti!

Ho un dubbio sulla legge di Gauss e vorrei chiedere a voi un chiarimento.

Prendiamo come esempio questo esercizio:
Una sfera conduttrice di raggio \( \displaystyle R \) ha una densità volumica di carica uniforme \( \displaystyle \rho \) . Determinare l'espressione del vettore campo elettrico ad una generica distanza \( \displaystyle r \) dal centro della sfera.

Quello che non riesco a capire è come mai che nel caso in cui \( \displaystyle r>R \) utilizzo il raggio \( \displaystyle r \) nel calcolo della superficie della sfera, mentre utilizzo \( \displaystyle R \) per il volume. Perchè non posso fare il contrario?

Mi spiego meglio. Per svolgere l'esercizio calcolo prima il flusso attraverso la superficie:
\( \displaystyle \phi_E= \int_s E_(r) dS = 4 \pi r^2 E(r) \)

Con la densità \( \displaystyle \rho \) mi ricavo il valore della carica \( \displaystyle q \) :
\( \displaystyle q=\rho V_sfera=\frac{4}{3}\pi R^3 \rho \)

Quindi utilizzando Gauss ottengo:
\( \displaystyle \varepsilon_0 \phi_E = q \) da cui:

\( \displaystyle E(r)=\frac{ \rho R^3}{3\varepsilon_0r^2} \)

Come mai che il raggio \( \displaystyle R \) della sfera lo utilizzo per il calcolo del volume e non della superficie? Perchè ho capito il procedimento da utilizzare, ma ogni volta che arrivo alla scelta di quale raggio utilizzare mi sbaglio sempre. Ad esempio io avrei utilizzato il raggio \( \displaystyle r \) nel calcolo del volume mentre \( \displaystyle R \) in quello della superficie, e quindi l'esercizio risulta sbagliato.

Grazie in anticipo
Buon fine settimana
Ciaoo

Se ti dico che r e' la variabile, risponde alla tua domanda?
R e' un numero fisso. Invece r e' la variabile della funzione campo al di fuori della sfera

Ciao!

Non riesco ancora a capire

Se la sfera ha raggio \( \displaystyle R \) significa che sia il suo volume che la sua superficie sono fisse in base al raggio \( \displaystyle R \) .

Però allora come mai che nel calcolo del flusso la superficie della sfera varia in base a \( \displaystyle r \) ? Quello che non riesco a capire è come mai il volume è fisso e determinato dal raggio \( \displaystyle R \) invece la superficie può variare a seconda della grandezza di \( \displaystyle r \)

Ho provato a darmi una spiegazione, ma non so se torna:
la densità di volume riempie al massimo tutta la sfera di raggio \( \displaystyle R \) e quindi oltre non possiamo andare, invece il flusso che esce dalla superficie della sfera lo posso trovare anche ad una distanza maggiore di \( \displaystyle R \) , e quindi lo calcolo in un preciso punto basandomi sulla distanza di \( \displaystyle r \) .

Può tornare come ragionamento?

Grazie
Ciaoo

Il valore di r>R ti individua le infinite sfere "gaussiane" necessarie per applicare il Teorema di Gauss.
Cioe, tu racchiudi la sfera di raggio R dentro una superficie sferica gaussiana di raggio r.
Calcoli la carica totale della sfera (come hai fatto tu, densita'xvolume). Quella carica, essendo tutta interna alla sfera di superficie (non di volume!) r, genera un flusso costante pari all'integrale scritto da te.

Questo ti permette di calcolare il campo in ogni punto a distanza r dal centro-sfera.

Sicuro che il testo sia "Una sfera conduttrice di raggio $R$ ha una densità volumica di carica uniforme $rho$"?
Mi sembra che ci sia una contraddizione: se la sfera è conduttrice, la carica dovrebbe distribuirsi solo sulla superficie, non nel volume.

Ciao!

Si scusa mi è scappato un non. La sfera non è conduttrice. Comunque credo di aver capito, in pratica il volume è fisso ed è dato dal raggio \( \displaystyle R \) , mentre il flusso vado a calcolare quanto vale in riferimento alla superficie che voglio prendere, che dista \( \displaystyle r \) dal centro della sfera.

Adesso provo a fare altri esercizi e vedo se mi torna tutto

Grazie
Ciaoo!