Asta incernierata al pavimento
Inviato: 21/12/2014, 22:00Buonasera ho dei dubbi sulla risoluzione della seconda parte di questo problema.
Un'asta di lunghezza L e di massa M=2m, presenta su una sua estremità una massa m, mentre il suo estremo inferiore è incernierato al pavimento in O. Il sistema viene mosso dalla sua posizione di equilibrio verticale e lasciato libero di cadere. Calcolare la velocità della massa quando tocca terra e, nell'ipotesi che l'energia si riduca del 25% dopo l'urto, la quota raggiunta dalla massa dopo il rimbalzo.
Calcolo innanzitutto l'altezza del centro di massa di questo sistema: $y_(CM) = (l/2M + ml)/(m+M) = (2ml/2 + ml) /(m+2m) = 2ml/3m = 2l/3 $
Dopo di che uso la conservazione dell'energia meccanica poiché non sono presenti forze dissipative, quindi l'energia potenziale iniziale è uguale all'energia cinetica finale. L'energia potenziale di questo sistema è data da $U = (m+M)gy_(cm) = 3mgy_(cm) = 3mg(2/3)l = 2mgl $
L'energia cinetica di un sistema che ruota invece è: $K=1/2Iw^2$. Quindi $2mgl = 1/2Iw^2$
A questo punto calcolo il momento d'inerzia di questo sistema rispetto al punto O, che è dato dalla somma dei due momenti d'inerzia. Quello dell'asta è $I=Ml^2/3$, mentre quello della massa $m$ è $I = ml^2$, quindi $I_T = (5/3ml^2)$
A questo punto sostituendo il momento d'inerzia in U = K, ricavo la velocità nel punto in cui tocca terra. Fin qui credo sia corretto. Per quanto riguardo a cosa avviene dopo il rimbalzo, ho pensato di chiamare $K_I$ l'energia ridotta del 25%. Quindi da $K_I=1/2Iw^2$ ricavare la nuova velocità. Sempre per la conservazione dell'energia meccanica $K_I = U + K$ ( dove U e K sono le energia nel punto in cui si ferma la massa m ). Ma nel punto in cui si ferma, la sua velocità è zero, quindi $K_I = U -> K_I = (m+M)gX$, dove X è l'altezza incognita del centro di massa. Ricavo X e quindi essendo nota la posizione del centro di massa del sistema, è nota anche la posizione della massa m. Va bene come raionamento?
Un'asta di lunghezza L e di massa M=2m, presenta su una sua estremità una massa m, mentre il suo estremo inferiore è incernierato al pavimento in O. Il sistema viene mosso dalla sua posizione di equilibrio verticale e lasciato libero di cadere. Calcolare la velocità della massa quando tocca terra e, nell'ipotesi che l'energia si riduca del 25% dopo l'urto, la quota raggiunta dalla massa dopo il rimbalzo.
Calcolo innanzitutto l'altezza del centro di massa di questo sistema: $y_(CM) = (l/2M + ml)/(m+M) = (2ml/2 + ml) /(m+2m) = 2ml/3m = 2l/3 $
Dopo di che uso la conservazione dell'energia meccanica poiché non sono presenti forze dissipative, quindi l'energia potenziale iniziale è uguale all'energia cinetica finale. L'energia potenziale di questo sistema è data da $U = (m+M)gy_(cm) = 3mgy_(cm) = 3mg(2/3)l = 2mgl $
L'energia cinetica di un sistema che ruota invece è: $K=1/2Iw^2$. Quindi $2mgl = 1/2Iw^2$
A questo punto calcolo il momento d'inerzia di questo sistema rispetto al punto O, che è dato dalla somma dei due momenti d'inerzia. Quello dell'asta è $I=Ml^2/3$, mentre quello della massa $m$ è $I = ml^2$, quindi $I_T = (5/3ml^2)$
A questo punto sostituendo il momento d'inerzia in U = K, ricavo la velocità nel punto in cui tocca terra. Fin qui credo sia corretto. Per quanto riguardo a cosa avviene dopo il rimbalzo, ho pensato di chiamare $K_I$ l'energia ridotta del 25%. Quindi da $K_I=1/2Iw^2$ ricavare la nuova velocità. Sempre per la conservazione dell'energia meccanica $K_I = U + K$ ( dove U e K sono le energia nel punto in cui si ferma la massa m ). Ma nel punto in cui si ferma, la sua velocità è zero, quindi $K_I = U -> K_I = (m+M)gX$, dove X è l'altezza incognita del centro di massa. Ricavo X e quindi essendo nota la posizione del centro di massa del sistema, è nota anche la posizione della massa m. Va bene come raionamento?