Matematicamente.it

mathbells ha scritto:
Allora tutto torna!

Torna sempre tutto (quasi). Basta saper ascoltare invece di provocare.
Buon Natale a tutto il forum!

Risolvendo in modo analitico (risolvendo l'eq. differenziale del moto considerando la fune perfettamente elastica e dopo una caduta libera di $l$ metri), nella F max mi compare, sotto radice, il termine aggiuntivo $m^2 g^2$....

Buon Natale!

Beh, come battibecco di capodanno, questo "scambio di opinioni" prende la palma d'oro ! Avete mangiato pesante ieri sera ?

Auguri di buon anno, ragazzuoli, e stiamo calmi !

Piuttosto, mi è venuto in mente questa cosa, che ci facevano studiare in meccanica delle macchine. Si tratta di questo :

- Se un corpo di massa $m$ viene fatto cadere da una certa altezza $h$ su una molla, o anche su una trave elastica, avente costante elastica $k$ , vale l'equazione che ha scritto mathbells per la trasformazione dell'energia da potenziale a cinetica ed elastica :

$1/2k\Deltal^2 - mg\Deltal - mgh = 0 $

Questa equazione di secondo grado permette di trovare la deformazione $\Deltal$ , che possiamo definire "dinamica" perché il carico non è applicato staticamente sulla molla . La soluzione è (trovatela voi stessi) :

$\Deltal = (mg)/k +- sqrt ((m^2g^2)/k^2 + (2mgh)/k) $

Naturalmente si scarta la radice negativa, e rimane : $\Deltal = (mg)/k + sqrt ((m^2g^2)/k^2 + (2mgh)/k) $

Possiamo chiamare "freccia statica" la quantità : $ \delta_(st) = (mg)/k$ , che infatti è uguale alla deformazione che avrebbe la molla (o la trave elastica) se il carico $mg$ venisse applicato "staticamente", cioè senza far cadere la massa $m$ dall'altezza $h$.

Quindi la freccia dinamica è data da : $\Deltal = \delta_(st) + sqrt(\delta_(st)^2 + 2*\delta_(st)*h) $

Ora osserviamo che se, nella relazione ora scritta, poniamo : $ h= 0 $ , si ottiene il doppio della freccia statica :

$\Deltal_(h=0) = 2\delta_(st)$

Questo che cosa vuol dire ? Vuol dire che se noi poggiamo la massa $m$ sulla molla ( o sulla trave elastica) , e allontaniamo di colpo le mani , trasferendo immediatamente il peso dalle mani alla molla, questa si deforma "il doppio" di quanto farebbe staticamente, cioè se il carico venisse applicato alla molla in maniera graduale ma non bruscamente. Naturalmente questo modo di applicare il carico ( poggiare il peso e poi togliere bruscamente le mani ) induce inizialmente una deformazione doppia di quella statica, e la molla inizia a compiere vibrazioni attorno alla posizione di equilibrio finale, che è rappresentata dalla freccia statica, ovviamente.