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Buona sera, sto incontrando delle difficoltà nel trovare le equazioni che regolano la dinamica del seguente



Dove le due molle sono a riposo quando l'asta è orizzontale.

Ho provato a risolverlo con metodi energetici:

L'energia cinetica del sistema è

$$ T = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) l^2 \dot{ \varphi} ^2 $$

mentre l'energia potenziale

$$ V = \frac{1}{2} (k_1 + k_2) l^2 \cos^2 \varphi $$

quindi la lagrangiana per piccole oscillazioni, espandendo il coseno al secondo termine, è

$$ L = T-V = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) l^2 \dot{ \varphi} ^2 - \frac{1}{2} (k_1 + k_2) l^2 \left (1+\frac{\varphi^2}{2} \right )^2 $$

computando l'equazione di Eulero-Lagrange ottengo

$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}}-\frac{\partial L}{\partial \varphi}=(m_1+m_2) l^2 \ddot{\varphi} +(k_1+k_2) l^2 \varphi=0$$

purtroppo questa equazione non è corretta.

La soluzione proposta dal mio professore è

$$(m_1+m_2) l^2 \ddot{\varphi} +2(k_1+k_2) l^2 \varphi=0$$

ma io non riesco proprio a capire da dove salti fuori quel due al secondo termine. Evidentemente non sto considerando qualcosa nella scrittura dell'energia potenziale.
Grazie a tutti coloro che hanno avuto la pazienza di arrivar si qui. Sapreste spiegarmi qual'è la causa di tale temine?

Dovrebbe essere $V=1/2(k_1+k_2)l^2sin^2varphi$, comunque l'equazione di lagrange linearizzata è:

$(m_1+m_2)l^2ddotvarphi+(k_1+k_2)l^2varphi=0$, quindi direi che quella data dal tuo prof è sbgliata

Si hai ragione per il seno, errore mio. Scriverò al professore.
Grazie.

Perchè manca l'energia potenziale gravitazionale?

No il sistema non è immerso in campi gravitazionali. Comunque se fosse, le costanti non avrebbero la forma di un due!