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Ciao a tutti, il problema è questo.

Un satellite artificiale si muove su un'orbita circolare ad altezza $h = 560 km$ sopra la superficie terrestre. Il periodo di rivoluzione è di $92$ minuti. Determinare il valore dell'accelerazione di gravità sull'orbita.

Io procedo così: sul satellite agisce la forza di gravità, che ne determina l'accelerazione centripeta, quindi posso scrivere

$gamma(M_TM_S)/R^2 = M_Somega^2R$
($R = h + R_T$)

Sostituendo la velocità angolare e semplificando le masse ho $gammaM_T = 4pi^2R^3/T^2$
Per un corpo appoggiato sul satellite vale $mg = gamma(M_Sm)/r^2$

Il problema è che non so da dove ricavare la massa del satellite visto che nella prima equazione si semplifica. Sono sicuro che mi sta sfuggendo qualcosa di ovvio

Cosa ti serve la massa del satellite? L'accelerazione di gravità a 560 km da terra è quella che è, la massa del satellite è ininfluente. E, incidentalmente, è proprio l'accelerazione centripeta che hai trovato. Il problema termina qui. Cosa servano il resto dei conti, non lo capisco proprio.

Determinare il valore dell'accelerazione di gravità sull'orbita.

Io interpreto questa domanda, nel senso che vuol sapere quanto vale l'accelerazione di gravità in un punto che si trova a distanza $R = R_T +h$ dal centro della terra . Allora :

1) a terra , hai : $g = G M_T/R_T^2 $

2) a distanza $R$ , hai : $ g' = GM_T/R^2 $

perciò : $(g')/g = (R_T/R)^2 $

il periodo di 92 minuti non c'entra, è una conseguenza dell'uguaglianza tra forza centripeta e attrazione gravitazionale. E naturalmente non c'entra neanche la massa del satellite.

Shackle ha scritto:
perciò : $(g')/g = (R_T/R)^2 $

il periodo di 92 minuti non c'entra, è una conseguenza dell'uguaglianza tra forza centripeta e attrazione gravitazionale. E naturalmente non c'entra neanche la massa del satellite.

Giusto, ma forse a6o, a quel che sembra, non voleva basarsi su g ma solo sulla costante di gravità $\gamma$

Ciao, grazie per le risposte. In effetti io mi sono arrovellato per risolvere il problema buttandoci dentro il periodo in qualche modo, non avevo pensato potesse essere un dato inutile
quindi mi sono rifatto al "classico" calcolo di g terrestre che usa la prima equazione per ricavare $M_T$ e la seconda per ricavare l'accelerazione di gravità sulla superficie.

E' possibile riscrivere la prima equazione considerando la forza di gravità esercitata sulla terra dal satellite, per avere $gammaM_TM_S/R^2 =M_Tomega^2R$? In questo modo posso ricavare la massa del satellite e trovare g sull'orbita...

in ogni caso il tuo procedimento,Shackle, è decisamente quello da seguire... mi chiedo solo se c'è un modo di procedere che usi tutti i dati!

LA forza di attrazione gravitazionale tra terra e satellite, data da $G (M_tM_s)/R^2$ , obbedisce al principio di azione e reazione. Quindi l'attrazione che il satellite esercita sulla terra è uguale e contraria a quella che la terra esercita sul satellite. Si può dire questo : quando scrivi che la attrazione gravitazionale esercitata sul satellite è la forza centripeta, e cioè :

$G (M_tM_s)/R^2 = M_s\omega^2R$

puoi semplificare la massa del satellite , e quindi :
$G M_t/R^2 = \omega^2R$
Questa non è altro che l'accelerazione di gravità $g'$ esercitata dalla terra alla distanza $R$ , uguale all'accelerazione centripeta subita dal satellite : $g' = a_c $

Qui puoi ora utilizzare il periodo di rotazione del satellite scrivendo : $\omega^2 = (4\pi^2)/T^2$ , e moltiplicando per $R$ ricavare la $g'$ sull'orbita direttamente :

$g' = G M_t/R^2 = (4\pi^2)/T^2R = a_c$

cosí hai utilizzato i dati in tuo possesso , cioè $R=R_t+h$ e il periodo $T$ , senza passare attraverso il valore di $g$ a terra.

Dall'uguaglianza : $g' = a_c = v^2/R $ , in cui $v$ è la velocità tangenziale del satellite , si ricava che : $v^2 = g'R$ , cioè :
$v= sqrt(g'R)$ . Questa è la prima velocita cosmica .
La stazione spaziale internazionale , che si trova in media a circa 400 km dalla terra , impiega una novantina di minuti a descrivere un'orbita . Quante albe e quanti tramonti in un'orbita !

Perfetto! Grazie mille per la spiegazione, e per quel tocco di poesia alla fine