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Calcolare modulo accelerazione e velocità angolare ruota

29/12/2008, 14:15

Una ruota di raggio r ruota con moto accelerato. L'equazione oraria di un punto alla periferia della ruota è $s=0,2(t/2)^3$. Calcolare il modulo dell'accelerazione del punto e la velocità angolare della ruota nell'istante in cui le componenti tangenziale e radiale dell'accelerazione sono uguali.
Vediamo se è giusto il mio ragionamento ( un pò meno il calcolo numerico perchè ancora non ho dimistichezza con derivate e integrali nelle equazioni orarie):
dal momento che il punto si muove di moto circolare uniformemente accelerato si ha:
$a_n=(dv^2)/R=(domega)R$
$a_t=(d|v|)/dt$
il modulo dell'accelerazione del punto è data da $a=sqrt((a_t)^2+(a_n)^2)$.
Non so come sostituire i miei dati, o meglio: ho provato a sostituirli ma non so se è corretto il risultato:
$v=(ds)/dt -> 3*0,2(t/2)^2$
$a=(d|v|)/dt -> 3*0,2t$
per l'accelerazione normale basta elevare al quadrato la velocità ottenuta precedentemente e dividerla per r=raggio.
Per la seconda richiesta non so invece come procedere. :? mi affido a voi.
Grazie, alex


p.s. se ci dovessero essere errori nel mio procedimento segnalateli: sono alle prime armi ( e se non lo fossi, lo stesso sarei affetto da errori!) :-D

29/12/2008, 16:04

Ciao, qualche notazione sul procedimento
dal momento che il punto si muove di moto circolare uniformemente accelerato si ha:
$a_n=(dv^2)/R=(domega)R$

Non mi pare che questa relazione sia giusta, mi riferisco al differenziale al secondo membro.
Piuttosto si ha
$a_n=v^2/r=\omega^2r$
$v=(ds)/dt -> 3*0,2(t/2)^2$

Dunque, in realtà devi derivare così: avendo
$s=0,2*1/8*t^3$ allora
$\dots=v=0,2*1/8*3*t^2$ ovvero $3/40*t^2$
Se non vuoi svolgere la potenza, allora dovresti derivare anche la base e moltiplicare, quindi la derivata della base è banalmente $1/2$ e si spiega questo fattore $1/2$ che a te manca.
Stessa cosa quando derivi per l'accelerazione.
Quindi infine
$a_t=0,2*3/4*t=3/20*t

In definitiva, io risolverei così: siccome deve valere
$a_c=a_t$, allora hai
$v^2/r=3/20*t$ ma siccome $v=3/40*t^2$, ho
$(3/40*t^2)^2/(r)=3/20*t$ cioè, dopo due conti e semplificazioni,
$3/(80r)*t^4=t$
Come vedi una soluzione banale è $t=0$ (infatti quando tutto è fermo le due accelerazioni sono uguali, sono tutte e due zero).
L'altra soluzione la ricavi dividendo per $t$ ambo i membri.
$3/(80r)t^3=1=>t^3=(80r)/3$

Trovato il tempo, devi solo infilare il valore nella formula dell'accelerazione (quella derivata due volte) e della velocità angolare, che trovi dividendo la velocità lineare per il raggio.

Tutto chiaro? Se hai i risultati, dimmi se combaciano.

Ciao, a presto. :wink:

29/12/2008, 21:06

Steven ha scritto:$a_n=(dv^2)/R=(domega)R$
Non mi pare che questa relazione sia giusta, mi riferisco al differenziale al secondo membro.
Piuttosto si ha
$a_n=v^2/r=\omega^2r$
$v=(ds)/dt -> 3*0,2(t/2)^2$


Tutto chiaro? Se hai i risultati, dimmi se combaciano.

Ciao, a presto. :wink:

Hai ragione. Sulla prima è stata un'enorme svista, ENORME :shock: , dal momento che sul quaderno avevo scritto correttamente ( sempre in pubblico mostro il mio lato migliore :-D ). Per la derivazione, non sapevo come fare. Il risultato purtroppo non ce l'ho ma ho seguito il tuo ragionamento, sulla seconda parte, ed effettivamente sembra corretto. Ti ringrazio,
alex
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