Come prepararsi per entrare in Matematica (in tre anni)

[ms94]

Ciao, se sei comunque interessato ad avere un po' di materiale utile non esitare a chiedere.
Io ho delle ottime dispense di algebra lineare e di geometria (esami che trovi in tutti i corsi scientifici), non richiedono alcun tipo di base (se non quello di saper risolvere delle espressioni mooooolto semplici)

[gcali]

Grazie a tutti per la disponibilità, magnifici.

Leonardo89, ho avuto la fortuna di avere un ottimo professore al biennio, ma mi interessa approfondire la materia.
Colgo al volo il consiglio di prendere un buon libro di Fisica, tra l'altro il libro di cui parli l'ho trovato in
forma digitale.

La Geometria Euclidea (e in generale la Matematica del Biennio) ho avuto modo di rivederla nel tempo libero, perché
volevo assicurarmi di non essermi perso nessuna nozione prima di andare avanti. Grazie a questa mi sono fatto un'idea
di cosa sia una dimostrazione, anche se lontana dal rigore matematico di cui parlate voi. La domanda "come si impara
a fare una dimostrazione" è stata posta diverse volte in questo forum, e grazie alle risposte sto (lentamente) imparando
a fare dimostrazioni elementari. A scuola purtroppo impariamo quelle presenti sul libro ma non ci spiegano come farle,
penso sia così un po' ovunque e mi chiedo che senso abbia.

Quanto alle Olimpiadi, mi sono preparato per quelle di Informatica, ma quest'anno la mia scuola ha deciso di non aderire.
I problemi logico-matematici sono presenti solo nella prima fase, e richiedono comunque nozioni basilari (cenni di calcolo
combinatorio, logica, insiemistica ed ottimizzazione, ma ad un livello piuttosto modesto). Al contrario, non mi sono mai
approcciato seriamente alle Olimpiadi di Matematica e Fisica. Vorrei farlo, e se a questo proposito avete qualche consiglio da darmi
su un buon libro che tratti il Problem Solving (anche in Inglese, non è un problema), vi prego di farmelo sapere.

Non ho problemi a studiare da autodidatta (oltretutto, ho un sacco di tempo libero...),
per le OII mi sono preparato da solo, ma immagino che lo studio della Matematica "vera" sia più complesso.
Del resto, però, come dite voi è più sensato impiegarsi prima in qualcosa che possa aiutare a sviluppare
il pensiero logico-matematico.

ms94, inviami pure gli ebook di cui parli, se non adesso mi serviranno sicuramente più tardi.

Vi ringrazio nuovamente tutti, uno ad uno, per avermi schiarito le idee. Non vedo l'ora di iniziare!

E non trascurare la vita al di fuori dello studio, anche quello è importante nella vita.

Anche questa non sarebbe una cattiva idea.

[Leonardo89]

non mi sono mai approcciato seriamente alle Olimpiadi di Matematica e Fisica. Vorrei farlo, e se a questo proposito avete qualche consiglio da darmi su un buon libro che tratti il Problem Solving (anche in Inglese, non è un problema), vi prego di farmelo sapere.

Per matematica, fatti più test possibili degli anni scorsi: sono l'allenamento migliore.
Per fisica, prima studiati la teoria sul libro che ti ho consigliato (Halliday) poi risolvi più test possibili degli anni scorsi.

Edit: prova a cercare con Google. Su internet troverai un sacco di materiale.
Consiglio questo, inoltre.

[Epimenide93]

Cosa vorresti fargli studiare con la struttura assiomi-definizioni-teoremi? Teoria dei gruppi? Analisi da un testo universitario? Teoria dei numeri?

Non vedo proprio perché no. Considerando che prepararsi per le olimpiadi ti porta inevitabilmente a vedere un po' di aritmetica modulare, cogliere la palla al balzo e studiare un po' di teoria su gruppi ciclici e magari anche sui gruppi simmetrici non vedo che male possa fare o quali grandi difficoltà possa portare. Studiare i teoremi di Sylow od il teorema di Cayley mi sembrano cose mille volte più utili che stare a fare la muffa sui punti notevoli dei triangoli, ma è solo la mia opinione. Contando poi che la spina dorsale di tutta la matematica moderna è l'algebra lineare (qui sono categorico, ma dubito che qualcuno possa dissentire), prima la si vede meglio è, tanto si passerà comunque il resto della vita a studiarla, più o meno direttamente, e testi come quello di Lang od il testo di geometria di Abate mi sembrano tranquillamente affrontabili da studenti al terzo-quarto anno di liceo; il che permette arrivati all'università di apprezzare e seguire attivamente da subito i corsi di algebra e geometria che di solito lasciano interdetto il 90% dell'uditorio. Io all'inizio del quinto anno di liceo studiai i primi due capitoli del baby Rudin e ringrazio il cielo di averlo fatto, perché è stata una delle tante cose che mi hanno fatto capire che volevo fare matematica; l'analisi del liceo (che è semplicemente calcolo per scimmiette ammaestrate) le prime volte può essere divertente, ma è facile che venga presto a noia, sarebbe anche il caso di capire che un analista non passa la vita a fare le derivate.

A mio parere non ha più di tanto senso studiarti in anticipo gli argomenti che andrai a trattare a matematica

Premesso che concordo col resto del messaggio, non sono d'accordo con questa frase. Studiando matematica ci si ritrova più e più (e più e più...) volte a tornare su cose già viste, per i motivi più disparati (generalizzarle, guardarle da un punto di vista più maturo, rivederle come caso particolare di un concetto generale apparentemente slegato, rivederle come costituenti di una teoria diversa ecc.), portarsi avanti di un passo prima di iniziare l'università mi sembra una cosa solo positiva, e nello spirito di molti dei consigli che dai.

Il fatto che i corsi ti insegnino qualcosa è un falso mito, i corsi semmai ti aiutano nell'apprendimento (quando va bene), ma quello che impari lo impari sempre e comunque da te, se vuoi iniziare a studiare un po' di matematica propriamente detta e riesci a farlo autonomamente non vedo perché aspettare. Ben inteso che dovresti farlo esclusivamente se ne hai voglia e ti piace farlo.

[apatriarca]

@Epimenide93: Il senso di quella frase voleva in realtà essere un po' diverso da quello che è probabilmente emerso. Non dico che sia inutile studiare argomenti universitari prima del tempo e devo ammettere di averlo fatto anche io al liceo. Credo però che la motivazione non debba venire dal "prepararsi per il corso X". È infatti certamente possibile affrontare lo studio di qualsiasi corso senza avere conoscenze pregresse sul contenuto di tale corso. La motivazione a mio parere deve essere il proprio interesse personale. Non ho per esempio mai amato la geometria euclidea del liceo e non ho mai avuto particolari interessi ad approfondire in quel campo. Ma ho invece approfondito altro che era più vicino ai miei interessi.

[Leonardo89]

Cosa vorresti fargli studiare con la struttura assiomi-definizioni-teoremi? Teoria dei gruppi? Analisi da un testo universitario? Teoria dei numeri?

Non vedo proprio perché no. Considerando che ... derivate.

Sicuramente tu intendi "Linear algebra" e non "Algebra": meglio precisarlo.
Io consiglierei più l'Abate, però, dato che si tratta di scuole superiori: dà per scontate meno cose.
Comunque se gcali riuscisse a studiarsi l'algebra lineare (esercizi compresi, dimostrativi e non) in terzo superiore sarebbe fantastico. All'ITIS informatica l'algebra lineare si studia ma con un approccio molto computazionale. L'algebra lineare, inoltre, non serve per le olimpiadi, la geometria euclidea sì. Non che uno sia obbligato a fare le olimpiadi, ovviamente.

Riguardo la teoria dei gruppi, mi ricordo dell'esistenza di un ragazzo che era arrivato ai primi posti della fase nazionale delle olimpiadi che risolveva problemi sui gruppi già durante le superiori. Se gcali riuscisse a studiarsela (ed a risolverne i problemi) tanto di guadagnato. A questo punto potrebbe anche studiare analisi da un testo universitario.
Il problema è che sono argomenti e libri pensati per essere affrontati all'università, quando si ha una maggiore maturità matematica. Non vorrei che gcali percepisse (molto erroneamente) il tutto come troppo astratto e sterile o che trovi incomprensibili i libri universitari.

Sicuramente lasciar perdere le olimpiadi e affrontare da subito la matematica universitaria può essere una strada percorribile. Se è quella più adatta a gcali può saperlo solo gcali.

Personalmente, non mi rimetterei a studiare la geometria euclidea del biennio neanche morto anche se all'epoca mi piacque. Forse era perché non sapevo che ci fosse di meglio: non conoscevo ancora l'esistenza di quegli argomenti estremamente più interessanti che ora mi appassionano.

Infine, per un analista non sottovaluterei affatto l'abilità tecnica nel calcolo delle derivate (necessaria ma non sufficiente): nello studio delle equazioni differenziali alle derivate parziali è indispensabile.

[giuliofis]

Scusate, ma perché consigliare di esercitarsi per le Olimpiadi ad un ragazzo che vuole soltanto prepararsi per entrare al CdL in Matematica?
Io consiglierei::
1. Da qui in poi, studia con dovere, fai tanti, tantissimi esercizi. Avere già la manualità pronta è un aiuto non da poco. Dovrai saper risolvere equazioni e disequazioni (e sistemi di entrambe) razionali, irrazionali, logaritmiche, esponenziali e trigonometriche.
2. Non snobbare la teoria, e leggiti e cerca di capire almeno alcune dimostrazioni del tuo libro.
3. La Geometria Euclidea, io la lascerei stare... Per me è solo un metro per capire se può piacere studiare matematica.
4. Dato che avrai anche "corsi di servizio" di Fisica, studia bene la trigonometria, ti sarà molto, molto utile.
5. Lascia perdere le Olimpiadi, a meno che tu non voglia davvero farle.
6. Non farti troppe paranoie e goditi anche la vita: quando sarai all'Università, se scoprirai di avere qualche lacuna sarai sempre in tempo a correre ai ripari.

[Leonardo89]

Non farti troppe paranoie e goditi anche la vita

Più che giusto.

quando sarai all'Università, se scoprirai di avere qualche lacuna sarai sempre in tempo a correre ai ripari.

Vero, ma correre ai ripari richiederà tempo, tempo che spesso non ci sarà. Inoltre all'università ci saranno argomenti ben più interessanti della trigonometria ed uno vorrà studiare quelli, non ammuffire sulla trigonometria (argomento che va conosciuto più che bene fin dal primo giorno di lezioni universitarie).

[giuliofis]

correre ai ripari richiederà tempo, tempo che spesso non ci sarà. Inoltre all'università ci saranno argomenti ben più interessanti della trigonometria ed uno vorrà studiare quelli, non ammuffire sulla trigonometria (argomento che va conosciuto più che bene fin dal primo giorno di lezioni universitarie).

Certamente. Ma, a mio parere, partire sapendo già la trigonometria e saper risolvere le varie equazioni, disequazioni e sistemi vari che ho scritto (e, conseguentemente, le proprietà delle relative funzioni) unitamente ad una buona manualità nei calcoli è sufficiente. Se dovessero insorgere altri problemi, sarebbero credo pochi e risolvibili in poco tempo, senza fasciarsi la testa in terza superiore.

[Epimenide93]

senza fasciarsi la testa in terza superiore.

Ma come diceva anche Leonardo non si tratta di prevenire alcunché, il punto è un altro. La manualità è indubbiamente importante, ma è facile che ci si rompa un po' le scatole a fare solo contazzi (l'unica cosa che ricordo delle ore di matematica del mio IV anno di liceo è la materializzazione della noia universale). La matematica dovrebbe abituare al pensiero puro, la matematica delle superiori ti abitua solo a seguire delle direttive, non sia mai che impari a ragionare con la tua testa (aggiungici il fatto che esistono "insegnanti" di matematica delle superiori che non sono in grado di valutare la correttezza di un procedimento risolutivo diverso da quello canonico). Per non parlare del fatto che nel triennio (eccezion fatta per quei pochi professori illuminati che sanno sfruttare il programma ministeriale per presentare un programma coerente) fare matematica vuol dire fare (male) precalcolo e calcolo fingendo che sia analisi e ignorando qualsiasi altro ramo della matematica. Se il giovine in questione ha voglia di approfondire prima del tempo e trova soddisfacente farlo può fargli solo bene. Se la cosa non lo entusiasma è ovvio e scontato che fa meglio a dedicarsi ad altro, finché ha del tempo libero a disposizione. Concordo con Leonardo, se approfondire possa interessargli o meno lo sa solo lui.

Sul discorso manualità estendo una citazione che non so a chi attribuire ("Mathematics has as much to do with computation as writing has to do with typing"). Fare lo scrittore senza saper dattilografare dev'essere frustrante, ma non si può spacciare un corso di dattilografia per un corso di letteratura, diamine!